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2025-2026学年武汉经济技术开发区第一中学高一上学期开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 : ∈ , 2 > 1000，则 为( )
A. ∈ , 2 ≤ 1000 B. ∈ , 2 > 1000
C. ∈ , 2 ≤ 1000 D. ∈ , 2 < 1000
2.已知集合 = 2 < < 0 , = | | ≤ 1 ，则 ∩ =( )
A. 1 ≤ ≤ 1 B. 2 < < 0
C. 1 ≤ < 0 D. 2 < ≤ 1
3.不等式 3 2 + 7 2 < 0 的解集为( )
A. 13 , 2 B. ∞,
1
3 ∪ (2, + ∞)
C. 1 12 , 3 D. (2, + ∞)
4.已知关于 的一元二次方程 2 (2 1) + 2 = 0 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
( )
A. > 14 B. <
1
4 C. >
1 1
4且 ≠ 0 D. < 4且 ≠ 0
5.设 ∈ R +2，则“ 2 ≤ ≤ 1”是“ +1 ≤ 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6 2.已知 < 1，则 2 + 1的最大值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
7 1 7.已知函数 ( ) = [ ]，其中[ ]表示不超过 的最大整数，当 2 ≤ ≤ 2时，下列函数中，其值域与 ( )的
值域不相同的函数为( )
A. = , ∈ { 1,0,1,2,3} B. = 2 , ∈ 12 , 0,
1
2 , 1,
3
2
C. = 1 , ∈ 1,1, 1 , 1 , 1 D. = 2 2 3 4 1, ∈ {0,1, 2, 3, 2}
8 1.如图所示，在矩形 中， = 4， = 3，矩形内部有一动点 满足 = 3 矩形 ，则点 到 ,
两点的距离之和 + 的最小值为( )．
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A. 5
B. 2 13
C. 2 2
D. 4 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“不等式 2 2 + ≥ 0 在 R 上恒成立”的充分不必要条件是( )
A. ≥ 1 B. ≤ 2 C. ≥ 3 D. ≥ 2
10.若 , , ∈ R，则下列命题正确的是( )
A.若 ≠ 0 且 < 1，则 >
1
B.若 0 < < 1，则
3 <
C.若 > > 0 +1 > ，则 +1 D.若 < < 且 < 0，则 <
11.如图，抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)的对称轴是直线 = 2，并与 轴交于 ， 两点，若 = 5 ，
则下列结论中，正确的是( )
A. > 0
B. ( + )2 2 = 0
C. 9 + 4 < 0
D.若 为任意实数，则 2 + + 2 ≥ 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有 24 名同学参加比赛，有 12 人参加游泳比赛，有 9 人参加田
赛，有 13 人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和径赛的有 3 人，没有人同
时参加三项比赛，借助文氏图( )，可知同时参加田赛和径赛的有 人．
13.已知关于 的一元二次不等式 2 + < 0 的解集为 3 < < 5 ，则不等式 2 + > 0 的解
集为 ．
14 .定义集合的⊙运算：已知集合 , ，则 ⊙ = = , ∈ , ∈ .若集合 = 1, , =
2, 3 ，
则集合 ⊙ 的真子集个数的可能取值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 3
已知集合 = | 2 ≤ 2 , = { ∣3 2 ≤ ≤ 2 + 1}．
(1)当 = 1 时，求 ∪ ；
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(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知集合 = ≤ 1 或 > 1 + ， = < 1 或 ≥ 2 ．
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知关于 的不等式 2 3 + 2 > 0( ∈ )，
(1)若 2 3 + 2 > 0 1的解集为 | < < 2 ，求实数 ， 的值；
(2)若 > 0 求关于 的不等式 2 3 + 2 > 1 的解集．
18.(本小题 17 分)
某经销商购进 5 瓶 型号消毒水和 6 瓶 型号消毒水一共需要 280 元，每瓶 型号消毒水的进价比每瓶 型
号消毒水多 10 元．
(1)求每瓶 型号消毒水的进价；
(2)该经销商用 2000 元购进 ， 两种型号的消毒水进行销售.当 型号消毒水每瓶定价为 30 元时，可售出
100 瓶，若每涨 1 元，则销量减少 5 瓶， 型号消毒水每瓶售价为 60 元，且购进的 ， 两种型号消毒水都
卖完，设每瓶 型号消毒水定价为 元( 为大于 30 的整数)， ， 两种型号的消毒水分别有 1， 2瓶( 1, 2
都为非负整数)．
①分别写出 1， 2关于 的函数关系式；
②求销售 ， 两种型号消毒水的总利润的最大值；
③若销售 ， 两种型号消毒水的总利润不少于 1945 元，直接写出每瓶 型号消毒水有几种定价．
19.(本小题 17 分)
已知二次函数 = 2 6 + 5．
(1)求二次函数的顶点坐标和对称轴；
(2)当 1 ≤ ≤ 6 时，函数的最大值和最小值分别是多少？
(3)当 ≤ ≤ + 3 时，函数的最大值为 ，最小值为 ，若 = 3，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. | 13 < <
1
5
14.3 或 7
15. 1 3解：(1)不等式 2 ≤ 2解得 1 ≤ ≤ 2，集合 = | 1 ≤ ≤ 2 ，
当 = 1 时，集合 = { ∣1 ≤ ≤ 3}，
所以 ∪ = { ∣ 1 ≤ ≤ 3}；
(2)由 ∪ = ，得 ，
当 = 时，3 2 > 2 + 1，即 < 12，符合题意；
3 2 ≤ 2 + 1
当 ≠ 时， 3 2 ≥ 1，解得 = 12，
2 + 1 ≤ 2
综上：实数 的取值范围( ∞, 12 ]．
16. (1) 1 < 1解： 因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，可得 是 的真子集，则满足 1 + ≥ 2，解得
> 2，所以实数 的取值范围为(2, + ∞)．
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(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，可得 是 的真子集．①当 1 ≥ 1 + ，即 ≤ 0 时，
> 0 > 0
此时 = ，符合题意；②当 1 < 1 + ，即 > 0 时，则满足 1 ≥ 1，即 ≤ 2，解得 0 < < 1.
1 + < 2 < 1
综上可得，实数 的取值范围为( ∞,1)．
17.解：(1)若 2 3 + 2 > 0 1的解集为 | < < 2 ，
则 = 1是方程 22 3 + 2 = 0
1 3
的一个根，即4 2 + 2 = 0，解得 = 2，
所以不等式为 2 2 3 + 2 > 0 2 < < 1，解得： 2，所以 = 2．
即 = 2， = 2．
(2)因为 2 3 + 2 > 1，即 2 ( + 3) + 3 > 0，
当 ≠ 0 3时，令 2 ( + 3) + 3 = 0，解得 1 = 1, 2 = ，
0 < < 3 1 < 3若 时， ，不等式
2 ( + 3) + 3 > 0 3解集为：( ∞,1) ∪ ( , + ∞)；
3
若 = 3 时，1 = 2 ，不等式 ( + 3) + 3 > 0 解集为：( ∞,1) ∪ (1, + ∞)；
> 3 1 > 3 2 ( + 3) + 3 > 0 ( ∞, 3若 时， ，不等式 解集为： ) ∪ (1, + ∞)；
综上所述：当 0 < < 3 时，不等式解集为：( ∞,1) ∪ ( 3 , + ∞)；
当 = 3 时，不等式解集为：( ∞,1) ∪ (1, + ∞)；
当 > 3 3时，不等式解集为：( ∞, ) ∪ (1, + ∞)．
18.(1)解：设每瓶 型号消毒水的进价为 元，
依题意，得 5 + 6( + 10) = 280，
解得： = 20，
答：每瓶 型号消毒水的进价为 20 元．
(2)① 1 = 100 5( 30) = 250 5 ，
2 = (2000 20 1) ÷ 30 = [2000 20(250 5 )] ÷ 30 =
10
3 100，
∴ 101 = 250 5 ， 2 = 3 100；
②设销售销售 ， 两种型号消毒水的总利润为 元，
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依题意得： = (250 5 )( 20) + 103 100 (60 30)，
= 5 2 + 450 8000 = 5( 45)2 + 2125，
∵ 250 5 ≥ 0，( 为大于 30 的整数)
∴ 30 < ≤ 50，且 为 3 的倍数；
∵ 5 < 0，
∴当 = 45 元时， 有最大值，最大值为 2125 元，
答：销售 ， 两种型号消毒水的总利润的最大值为 2125 元；
③由题意，得 5( 45)2 + 2125 ≥ 1945．
解得：39 ≤ ≤ 51，
∵ 30 < ≤ 50，且 为 3 的倍数，
∴ = 39，42，45，48，
∴每瓶 型号消毒水有 4 种定价．
19.解：(1)
∵ = 2 6 + 5 = ( 3)2 4，
∴对称轴为 = 3，顶点坐标为(3, 4)．
(2) ∵顶点坐标为(3, 4)，
∴当 = 3 时， 最小值 = 4；
∵当 1 ≤ ≤ 3 时， 随着 的增大而减小，
∴当 = 1 时， 最大值 = 0，
∵当 3 < ≤ 6 时， 随着 的增大而增大，
∴当 = 6 时， 最大值 = 5；
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综上所述，当 1 ≤ ≤ 6 时，函数的最大值为 5，最小值为 4．
(3)当 ≤ ≤ + 3 时，对 进行分类讨论：
①当 + 3 < 3 时，即 < 0， 随着 的增大而减小，
当 = + 3 时， = ( + 3)2 6( + 3) + 5 = 2 4，
当 = 时， = 2 6 + 5，
∴ = 2 6 + 5 2 4 = 6 + 9，∴ 6 + 9 = 3，
解得： = 1(不合题意，舍去)；
②当 0 ≤ < 3 时，顶点的横坐标在取值范围内，∴ = 4，
当 0 ≤ ≤ 32时，在 = 时， =
2 6 + 5，
= 2 6 + 5 + 4 = 2 6 + 9，即 2 6 + 9 = 3，
解得： 1 = 3 3， 2 = 3 + 3(不合题意，舍去)；
3
当2 < < 3 时，在 = + 3 时， =
2 4，
∴ = 2 4+ 4 = 2，即 2 = 3，
解得： 1 = 3， 2 = 3(不合题意，舍去)；
③当 ≥ 3 时， 随着 的增大而增大，
当 = 时， = 2 6 + 5，
当 = + 3 时， = ( + 3)2 6( + 3) + 5 = 2 4，
∴ = 2 6 + 5 ( 2 4) = 6 + 9，即 6 + 9 = 3，
解得： = 1(不合题意，舍去)；
综上所述： = 3 3或 3．
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