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北师大九年级上册第四章图形的相似
一．选择题（共15小题）
1．下列线段中，能成比例的是（　　）
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
2．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
9．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（　　）
A．18 B． C． D．
12．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
13．已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（　　）
A．1 B．或﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2
14．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M在线段BD上，N在线段CD上，若BM＝2CN，则2AN+AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
二．填空题（共5小题）
16．已知线段a＝2，b＝3，那么线段a和b的比例中项为 　 　 ．
17．如果k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f），那么k＝　 　 ．
18．如图，已知l1∥l2∥l3，AB：BC＝1：2，如果EF＝10，那么DE的长为 　 　 ．
19．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是　 　 ．
20．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③FD＝FB；④．其中正确的结论有　 　 ．
三．解答题（共13小题）
21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AC CD＝CP BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
25．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
26．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
27．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长．
28．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2＝OE OF；
（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．
29．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
30．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD，AE＝3，求AF的长．
31．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
33．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t＝15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
北师大九年级上册第四章图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A A C C D D C C A B
题号 12 13 14 15
答案 B A C A
一．选择题（共15小题）
1．下列线段中，能成比例的是（　　）
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【解答】解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有D符合，3×18＝6×9，故选：D．
【点评】理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设a＝5k，则b＝2k，再代入计算即可．
【解答】解；设a＝5k，则b＝2k，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查的是比例的性质，熟练掌握该知识点是关键．
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的一个角为135°判断即可．
【解答】解：由题意∠ABC＝135°，BC＝2，，
∴，
选项A中的三角形是有一个角为135°，且该角度的邻边之比为，符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
4．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
5．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF，BD＝EF；
∵DE∥BC，
∴，
，
∵EF∥AB，
∴，，
∴，
故选：C．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．找准对应关系，避免错选其他答案．
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，
∴S△DOE：S△AOC，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
8．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB＝1.2，
∴BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6＝3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
∴x＝4.45，
∴树高是4.45m．
故选：C．
【点评】解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．
9．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得，，从而可得1．然后把AB＝1，CD＝3代入即可求出EF的值．
【解答】解：方法一、∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴，，
∴1．
∵AB＝1，CD＝3，
∴1，
∴EF．
方法二、∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，
∴EFCD，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现1是解决本题的关键．
10．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】方法1、先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．
方法2、先利用平行线分线段成比例定理得出AC＝4AD，进而得出CD＝3AD，利用勾股定理得出BD＝5a，AB＝4a，即可得出结论．
【解答】解：方法1，如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝7
∴AB5，
∵l2∥l3，
∴
∴DGCE，
∴BD＝BG﹣DG＝7，
∴．
方法2、
过点A作AE⊥l3于E，交l2于G，
∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴CD＝3AD，
设AD＝a，则CD＝3a，AC＝CD+AD＝4a，
∵BC＝AC，
∴BC＝4a，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD5a，
在Rt△ABC中，ABAC＝4a，
∴，
故选：A．
【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．
11．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（　　）
A．18 B． C． D．
【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，
∴MC＝12﹣5＝7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠CMG＝90°．
∵∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠CMG，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴，即，解得CG，
∴DG＝12．
∵AE∥BC，
∴∠E＝CMG，∠EDG＝∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴，即，解得DE．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
12．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到，，结合图形得到，得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13．已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（　　）
A．1 B．或﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2
【分析】依据，即可得出2（a+b+c）＝2k（a+b+c），再根据a、b、c为△ABC的三边，可得a+b+c≠0，进而得到k＝1．
【解答】解：根据题意有：2a＝k（b+c），2b＝k（a+c），2c＝k（a+b），
∴2（a+b+c）＝2k（a+b+c），
∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b+c≠0，
∴k＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系及比例的基本性质的综合运用，注意三角形的三边之和大于0．
14．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据△BNF∽△DNA，可求出AN的长；再根据△AME∽△ABF，求出AM的长，利用MN＝AN﹣AM即可解决．
【解答】解：∵BF∥AD
∴△BNF∽△DNA
∴，
而BFBC＝1，AF，
∴AN，
又∵AE＝BF，∠EAD＝∠FBA，AD＝AB，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠AED＝∠BFA
∴△AME∽△ABF
∴，
即：，
∴AM，
∴MN＝AN﹣AM．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，比例的性质，解题有关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M在线段BD上，N在线段CD上，若BM＝2CN，则2AN+AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
【分析】连接AC，作CE∥BD，使得，连接EN，AE，利用相似三角形的性质推出，继而得到，转化为求出AN+EN的最小值即可．
【解答】解：连接AC，作CE∥BD，使得，连接EN，AE，
∵边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
，
∴AC＝AB＝2，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵CE∥BD，BM＝2CN，
∴∠DCE＝∠BDC＝30°，
∴∠ABM＝∠ECN，
∵，
∴△ABM∽△ECN，
∴（相似三角形的对应边成比例），
∴，
∴，
∵AN+EN≥AE，
当点A、N、E共线时，取“＝”，此时AN+EN的最小值为线段AE的长，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝60°+30°＝90°，，
∴AE，
∴AN+EN的最小值为，
∴2AN+AM的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．
二．填空题（共5小题）
16．已知线段a＝2，b＝3，那么线段a和b的比例中项为 　　 ．
【分析】若c2＝ab，那么c是a，b的比例中项，据此列式求解即可．
【解答】解：设线段a和b的比例中项为x，
则：，
∵a＝2，b＝3，
∴x2＝ab＝2×3＝6，
∴或（不符合题意，舍去），
经检验，是原方程的解，
∴线段a和b的比例中项为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解题的关键．
17．如果k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f），那么k＝　3　 ．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：∵a+c+e＝3（b+d+f），
由等比性质，得k3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：k k．
18．如图，已知l1∥l2∥l3，AB：BC＝1：2，如果EF＝10，那么DE的长为 　5　 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得：DE＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是　（1，2）或（﹣1，﹣2）　 ．
【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解答】解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，
则点A的对应点A′的坐标为（2，4）或[2×（），4×（）]，
即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
20．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③FD＝FB；④．其中正确的结论有　①②④　 ．
【分析】①正确．只要证明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可；②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出，由，推出，即CF＝2AF；③错误，现有条件不足以证明；④正确．设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有，即，可得．
【解答】解：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵，
∴，
∴CF＝2AF，故②正确；
不足以证明③，故③错误；
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
∵∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝90°﹣∠BAC＝∠DAC，
∴△BAE∽△ADC，
∴，即，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正确地作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
三．解答题（共13小题）
21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AFAM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AC CD＝CP BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
【分析】（1）易证∠APD＝∠B＝∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB CD＝CP BP，由AB＝AC即可得到AC CD＝CP BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD＝∠BAP，即可得到∠BAP＝∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C．
∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB CD＝CP BP．
∵AB＝AC，
∴AC CD＝CP BP；
（2）如图，∵PD∥AB，
∴∠APD＝∠BAP．
∵∠APD＝∠C，
∴∠BAP＝∠C．
∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴．
∵AB＝10，BC＝12，
∴，
∴BP．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC CD＝CP BP转化为证明AB CD＝CP BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP＝∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出，即可得出结果；
②先求出，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴，
解得：BE＝4；
②∵，
∴，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴（）2＝（）2，
∴S△ABCS△EFC20＝45．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
25．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
即，
解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
26．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，得到∠PCA＝∠PDB＝120°，根据已知条件得到，于是得到结论．
【解答】证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴，，
∴，
∴△ACP∽△PDB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
27．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论；
（2）先利用AE2＝EF BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ABE，
∴∠DAC＝∠ABE，
∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB＝EF：EA，
∴AE2＝EF BE；
（2）∵AE2＝EF BE，
∴BE4，
∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3，
∵AE∥BC，
∴，即，解得AF，
∵△EAF∽△EBA，
∴，即，
∴AB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．
28．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2＝OE OF；
（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．
【分析】（1）由ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，可证得∠EAB＝∠D，即可证得AB∥CD，则得四边形ABCD为平行四边形；
（2）由平行线分线段成比例定理，即可证得OB2＝OE OF；
（3）首先作辅助线：连接BD，交AC于点H，连接OD，易证得△ODF∽△OED，即可证得OD2＝OE OF，则得到OB＝OD，又由OH⊥BD，即可证得四边形ABCD为菱形．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠EAB＝∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵DE∥BC，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴OB2＝OE OF；
（3）连接BD，交AC于点H，连接OD．
∵DE∥BC，
∴∠OBC＝∠E，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠E，
∵∠DOF＝∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴，
∴OD2＝OE OF，
∵OB2＝OF OE，
∴OB＝OD，
∵平行四边形ABCD中BH＝DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定以及平行线分线段成比例定理等．综合性很强，图形较复杂，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．
29．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF＝∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADF＝∠C，
∵，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴，
又∵，
∴，
∴1．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．
30．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD，AE＝3，求AF的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，然后根据∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，得出∠AFD＝∠C，从而得出△ADF∽△DEC；
（2）根据已知和勾股定理得出DE，再根据△ADF∽△DEC，得出，即可求出AF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，
∴在Rt△DAE中，DE6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得，
∴AF2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
31．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【分析】（1）根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【解答】解：（1）∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
（3）设EF＝x，EG＝y，
∵△AEF∽△ABC
∴，
∴
∴y＝80x
∴矩形面积S＝xyx2+80x（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）
故当x＝60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．
【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．
32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQCP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．
【解答】解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为Scm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t．
因此t＝3或t时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．
33．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t＝15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEFEF OE．t＝15时，OE＝15，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；
（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于160，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；
（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP＝∠BOA＝90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．
【解答】解：（1）∵EF∥OA，
∴∠BEF＝∠BOA
又∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BOA，
∴，
当t＝15时，OE＝BE＝15，OA＝40，OB＝30，
∴，
∴S△PEFEF OE（平方单位）；
（2）∵△BEF∽△BOA，
∴，
∴，
整理，得t2﹣30t+240＝0，
∵Δ＝302﹣4×1×240＝﹣60＜0，
∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值；
（3）当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA，
∴，即，
解得t＝12；
当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB，
∴，即，
解得．
∴当t＝12或时，△EOP与△BOA相似．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
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