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周测12　双曲线
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.设F1，F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|=3，则|PF2|等于(　　)
A.5 B.1
C.3 D.1或5
答案　A
解析　由题意得，a=1，b=3，因此c=，由于a+c=1+>|PF1|=3，故点P只可以在双曲线的左支上，因此|PF1|-|PF2|=-2，即3-|PF2|=-2，所以|PF2|=5.
2.双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的一条渐近线方程为(　　)
A.x-y=0 B.x-y=0
C.x-y=0 D.x-y=0
答案　B
解析　因为双曲线C的离心率e==，所以=，所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0.
3.图1是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一部分(图2)，该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径.则该双曲线的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
如图，由题意可知|CD|=2a，|AB|=2|CD|=4a，
因为塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点A(2a，2a)，
将点A的坐标代入双曲线方程得-=1，解得=，所以该双曲线的离心率e===.
4.已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，若·=0，则|+|等于(　　)
A.5 B.6 C.8 D.10
答案　D
解析　设双曲线C的焦距为2c，由题意可得，c==5.因为·=0，所以⊥，由斜边上的中线等于斜边的一半可知|+|=2||=||=2c=10.
5.已知一个动圆P与两圆C1：(x+2)2+y2=1和C2：(x-2)2+y2=4都外切，则动圆P的圆心的轨迹方程为(　　)
A.4x2-=1(x<0) B.4x2-=1
C.-=1(x<0) D.-=1
答案　A
解析　设动圆P的半径为R，
由于动圆P与两圆C1：(x+2)2+y2=1和C2：(x-2)2+y2=4都外切，
所以|PC1|=R+1，|PC2|=R+2，
即|PC2|-|PC1|=1<|C1C2|=4，
可知动圆P的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为1的双曲线的左支，
即a=，c=2，b=，
所以动圆P的圆心的轨迹方程为4x2-=1(x<0).
6.已知双曲线C的方程为5x2-y2=1，过点P(0，-1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M，N.若=2，则直线l的方程为(　　)
A.y=x-1
B.y=x-1或y=-x-1
C.y=x-1或y=-x-1
D.y=x-1
答案　D
解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
易知x1<0，x2>0，
联立得(5-k2)x2+2kx-2=0，
则x1+x2=，①
x1x2=，②
因为=2，则-x1=2x2，③
联立①③，解得x1=，x2=，
代入②，得k=1或k=-1(舍去)，经检验符合题意，
则直线l的方程为y=x-1.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知F是双曲线-=1的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则∠POF的大小可能是(　　)
A.15° B.25°
C.60° D.165°
答案　ABD
解析　因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为y=±x，即y=±x，因此两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°，
当点P在右支上时，∠POF的取值范围是0°≤∠POF<30°，当点P在左支上时，∠POF的取值范围是150°<∠POF≤180°，
因此结合选项知∠POF的大小不可能为60°，可能为15°，25°，165°.
8.已知双曲线C过点(3，)且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是(　　)
A.双曲线C的方程为-y2=1
B.直线x+y+1=0与双曲线C有两个交点
C.曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点
D.焦点到渐近线的距离为1
答案　ACD
解析　由题意，设双曲线C的方程为-y2=m(m≠0)，
∵双曲线C过点(3，)，∴m=3-2=1，
∴双曲线C的方程为-y2=1，故A正确；
联立消去x得y=，故直线与双曲线只有一个交点，故B错误；
由-y2=1得焦点坐标为(±2，0)，将(2，0)代入y=ex-2-1得e0-1=0，故C正确；
由双曲线的性质知，焦点(2，0)到渐近线x-y=0的距离d==1，故D正确.
9.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)经过点M(2)，并且它的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=9所截得的弦长为4，则下列结论正确的是(　　)
A.C的方程为-=1
B.C的渐近线方程为y=±x
C.C的离心率为
D.直线x-y+=0与C只有一个公共点
答案　ACD
解析　双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay=0，
圆心(2，0)到渐近线的距离d==1，
则点(2，0)到渐近线的距离d===1，于是a=b，c=2b，
由a2=3b2，双曲线C化为-=1，又点M(2)在双曲线C上，
所以-=1，所以b2=2，a2=6，所以双曲线C的方程为-=1，故A正确；
由a=b，所以C的渐近线方程为y=±x，故B错误；
双曲线C的离心率e==，故C正确；
联立消去x得y2+4y+4=0，因为Δ=0，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.以椭圆+=1的焦点为焦点，以直线y=±x为渐近线的双曲线方程为　　　　.
答案　-=1
解析　在椭圆+=1中，c2=13-3=10，并且焦点在x轴上，
因为在双曲线中，=，
所以===，
解得a2=8，b2=c2-a2=10-8=2，
所以双曲线方程为-=1.
11.已知F1，F2是双曲线C：y2-=1的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点M，则△MF1F2的面积为　　　　.
答案　2
解析　由题可知a=1，b=，c=2，
所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=4，
又过第一象限的双曲线C的渐近线方程为y=x，联立得x2=3，因为点M在第一象限，所以xM=，
所以=|F1F2|·xM=2.
12.如图，已知A，B是双曲线-=1(a>0，b>0)的右支上的两点(点A在第一象限)，点A关于坐标原点O的对称点为点C，且∠ABC=，若直线AB的斜率为-3，则该双曲线的离心率为　　　　.
答案　
解析　如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接OM，由双曲线的对称性可知点O为线段AC的中点，则OM∥BC，所以∠OMD=，由直线AB的斜率kAB=-3，得tan∠ODM=-3，
则直线OM的斜率kOM=tan(∠ODM+∠OMD)===-.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减，得-=0，
化简得·=，
即kOM·kAB==-×(-3)=，
所以该双曲线的离心率e===.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，∠F1PF2=60°，=12，且离心率为2，求双曲线的标准方程.
解　设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
由题意知，|F1F2|=2c，e==2，
由双曲线的定义，得||PF1|-|PF2||=2a=c，
由余弦定理，得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2·|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos∠F1PF2)，
∴4c2=c2+|PF1||PF2|，
=·|PF1||PF2|·sin 60°=12，
∴|PF1||PF2|=48，∴3c2=48，∴c2=16，a2=4，b2=12.
故所求双曲线的标准方程为-=1.
14.(12分)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.
(1)求双曲线的离心率；(5分)
(2)P(3，-4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程.(7分)
解　(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y=kx，则=4，解得k=.
若双曲线焦点在x轴上，则=，e=；
若双曲线焦点在y轴上，则=，e=，
故所求双曲线的离心率为e=或e=.
(2)由题意设F1(-c，0)，F2(c，0)，
由PF1⊥PF2得·=0.
所以(3+c)(3-c)+16=0，解得c=5，
由(1)知=，又a2+b2=c2=25，
所以a=3，b=4，
所以双曲线的方程为-=1.
15.(13分)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，动点M到x轴的距离为d，且|OM|2=λ+μd2(λ，μ∈R)，动点M的轨迹称为(λ，μ)曲线.
(1)已知(4，μ)曲线为双曲线，求μ的取值范围；(4分)
(2)设曲线C为(4，5)曲线，其焦点为F1，F2，直线l：y=kx+2(k>0)上有且仅有1个点P，使得||PF1|-|PF2||=4，求直线l的方程和对应的点P的坐标.(9分)
解　(1)设M(x，y)，由x2+y2=4+μy2，得x2+(1-μ)y2=4，
即+=1，
因为(4，μ)曲线为双曲线，所以1-μ<0，
则μ>1，故μ的取值范围为(1，+∞).
(2)由λ=4，μ=5，得双曲线C的标准方程为-y2=1，
由题意知，直线l与双曲线C只有一个交点P，
联立方程组
得(1-4k2)x2-16kx-20=0.
①当k=时，直线与双曲线C的渐近线平行，此时直线与双曲线C只有一个公共点，
代入上述方程有x=-，y=，
所以P，
此时直线l的方程为x-2y+4=0；
②当k≠时，直线与双曲线相切，
所以Δ=(-16k)2-4·(1-4k2)·(-20)=0，
解得k=，
当k=时，解得x=-，y=-，
所以P，
此时直线l的方程为x-2y+4=0.
综上所述，当直线l的方程为x-2y+4=0时，P；
当直线l的方程为x-2y+4=0时，P.

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