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16.3.2 完全平方公式
基础巩固提优
1.(2024·四川遂宁期末)已知 是一个完全平方式，则常数k 的值为（ ）.
A. 6 B. ±6 C. 12 D. ±12
2.(2024·呼和浩特中考)下列运算正确的是（ ）.
3.(2025·福建福州晋安区期末)若 5,则 ab的值为( ).
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
4. 若x-y=3, xy=5,则.
5.关于x的多项式 的值与x的取值无关，则(a-
6. (2024·乐山中考)已知a-b=3, ab=10,则.
7. (2024·北京师大附中期中)已知x+y=5, xy=4,则x-y= .
8. 若一个正方形的边长增加了2cm，面积相应地增加了32cm ，则这个正方形原来的边长为 .
9. 教材P118习题T7·变式已知a-b=5, ab=4,求下列各式的值：
10. 计算:
(1)(a-2b-3c) ;
(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z) .
思维拓展提优
11. (2025·福建泉州南安实验中学期中)设a=x-2023,b=x-2025,c=x-2024.若 则c 的值是( ).
A. 5 B.6 C.7 D. 8
12. (2024·浙江台州期末)已知( 则 的值是（ ）.
A. 5 B. 9 C. 13 D. 17
13. (2025·江苏南通月考)已知 则代数式 值可能是（ ）.
A. - 1 C. D. 4
14.(2025·福建漳州期中)如图，正方形的边长为a+b，阴影部分图形的面积为 .
15.(2025·上海长宁区期中)如图,点D 是线段AE 上一点，以AD，DE 为边向两边作正方形，面积分别是 S 和S ,设AE=8,两个正方形的面积之和 则△CDE 的面积为 .
16. (2025·上海静安区期末)已知 求 的值.
17. (2025·上海闵行区期中)(1)已知a+b=3, ab=2,则 (2)已知a+b+c=6, ab+ bc+ ac=11,求 的值.
18.(2025·广东汕头潮阳区期末)
[阅读理解]我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图(1)可以得到 基于此，请解答下列问题：
[类比应用]
(1)①若 xy=8,x+y=6,则 的值为 ;②若x(5-x)=6,则.
[迁移应用]
(2)两块完全相同的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图(2)所示放置，其中A,O,D 在一条直线上,连接AC,BD,
若AD=14,S△AOC+S△BOD=54,求一块三角板的面积.
19.(2025·河南南阳期末)对于任意实数m，n，我们规定： 例如： 4=12.
(1)填空:
①F(-1,3)= ;
②若H(2,x)=-6,则x= ;
③若F(a,b)=H(a,2b),则a-b 0.(填“>”“<”或“=”)
(2)若x+2y=5,且F(2x+3y,2x-3y)- 求 xy 与(x-2y) 的值.
延伸探究提优
20. (2025·广东湛江期末)把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：(a+ (如图(1)).
观察图(2)，请你写出(a+b) ,(a-b) ,ab 之间的等量关系： ；
拓展应用：根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
(2)若 且x>y,求x-y的值；
(3)若( 求(2025-m)(m-2024)的值;
(4)如图(3),在△BCE 中,∠BCE=90°,CE=8,点M 在边BC上,CM=3,在边 CE上取一点Q,使 BM=EQ,分别以 BC,CQ为边在△BCE 外部作正方形ABCD 和正方形COPQ,连接 BQ,若△BCQ 的面积等于 ,设BM=x(x>0),求正方形 ABCD 和正方形COPQ的面积和.
21. (2025·四川成都玉林中学月考)通过本章的学习，我们已经知道，如图(1)：(a+ 如图(2): 现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图(3)的图形，请认真观察图形.
(1)[探索发现]根据图(3)中条件，猜想并验证 与 之间的关系(用含a，b的代数式表示出来)： .
(2)[解决问题]①若 则 xy= .
②当(x-300)(200-x)=1 996 时,求 的值.
(3)[拓展提升]如图(4),点 C 是线段AB 上的一点，以AC，BC 为边向两边作正方形ACDE 和BCFG,延长GB 和ED 的延长线交于点 H，那么四边形DCBH 为长方形，设AB=10，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和
16.3.2 完全平方公式
1. D [解析]∵ 是一个完全平方式，
∴-k=±12,解得k=±12.故选 D.
2. C [解析]( 故A不正确；
故B不正确；
，故C正确；
3a+4b中3a 和4b不能合并同类项，故D不正确.故选C.
3. A [解析]·
,即9=5-2ab,解得 ab=-2.故选 A.
4.19 [解析]∵
5.0 [解析]
∵多项式 的值与x的取值无关，
6.29 [解析]∵a-b=3, ab=10,
7.±3 [解析]把x+y=5两边平方,得( 即
把.xy=4代入,得 即
,则x-y=±3.
8. 7 cm
2×4)=99.
10.(1)原式
(2)原式=(x-z+2y)(x-z-2y)-[(x+y)-z] = 2xy+2yz.
11. C [解析]∵a=x-2023,b=x-2025,c=x-2024,∴a-1=x-2024=c=b+1,a-b=2.
∴c =(a-1)(b+1)= ab+a-b-1=6+2-1=7.故选 C.
12. B [解析]∵
4(x-2024)+4=26,∴2(x-2024) =18,
.故选 B.
13. C [解析]
∴C选项符合题意.故选C.
14.2ab [解析]根据条件，正方形的面积为(
白色三角形的面积为 故阴影面积为
15. 7 [解析]设AD=CD=a,DE=b,
,解得 ab=14,
17.(1)5 1 [解析]∵a+b=3, ab=2,
(2)由条件可知(
18.(1)①20 [解析]由题意可知,
②13 [解析]令a=x,b=5-x,∴a+b=5, ab=6,
(2)设三角板的两条直角边AO=m，BO=n，则一块三角板的面积为 mn,
即
∴一块三角板的面积是22.
19.(1)①10 ②-3
③= [解析]若F(a,b)=H(a,2b),
则 则 故a-b=0.
(2)∵F(2x+3y,2x-3y)-H(7,x +2y )=13,
即
[解析]由图可知大正方形的面积等于4个长方形的面积加上小正方形的面积，
(2)由(1)可得(
∵x>y,∴x-y=3.
∴2(2025-m)(m-2024)=(2025-m+m-2024) -
(4)设BM=x,则BM=EQ=x,
∵CM=3,CE=8,
∴CQ=CE-EQ=8-x,BC=BM+CM=3+x.
令8-x=a,x+3=b,∴a+b=11, ab=21,
∴正方形 ABCD 和正方形COPQ 的面积和
[解析]一方面：大正方形的边长为(a+b)，小正方形的边长为(a-b)，∴大正方形的面积为(a+b) ,小正方形的面积为(a-b) .
另一方面：大正方形是由4个长为a，宽为b 的长方形和一个边长为(a-b)的小正方形构成，
(2)①12 [解析]
②设x-300=a,200-x=b,
∴a+b=x-300+200-x=-100,a-b=x-300-(200-x)=2x-500.
∵(x-300)(200-x)=1996,∴ab=1996.
由(1)可知(
,
(3)设AC=a,BC=b,
∵AB=10,∴a+b=10.
∵图中阴影部分面积为42,∴ab=42.
∵四边形 ACDE 和BCFG 均为正方形,

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