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母题变式提优 (四) 乘法公式的灵活运用及延伸
母题学方法1利 用乘法公式计算或化简
当题目中有两数的和或差的平方、有两数的和乘以两数差时，我们可以利用乘法公式来进行快速化简和计算.
1. 计算:
(1)(3x-2y-1) ;
(2)(m+n)(m-n)-(m-2n) .
子题练思维
变式1.1运用平方差公式计算：
(1)9.9×10.1; (2)1003×997;
母题学方法2利 用完全平方公式求最值
由于一个完全平方数或一个平方式是非负数，所以可以把一个代数式化成完全平方式来求它的最大值或 最小值.
2.比较 与2ab的大小.
尝试:(用“<”“=”或“>”填空)
①当a=-1,b=-2时,
②当a=2,b=5时,
③当a=b=3时,
验证：若a，b取任意实数， 与2ab有怎样的大小关系 试说明理由.
应用：当 时，请直接写出 的最小值.
子题练思维
变式2.1[提出问题]利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢 请完成以下探究性学习内容.
[自主探究]
用直角边分别为a 和b 的两个等腰直角三角形进行拼图，由图(1)得到图(2).
(1)请你仔细观察图形变化，解决下列问题.
②当a≠b时，比较大小： (填“>”或“<”)
③当a和b满足什么条件时， 与 ab 相等 甲同学说：我可以通过计算进行说明.乙同学说：我可以通过画图进行说明.请你选择其中一人的方法，进行说明.
[知识应用]
(2)已知m>0,n>1,且m(n-1)=9,利用(1)发现的结论求 的最小值.
母题学方法3 乘法公式的逆用
对于两数的和、两数的差、两数的积以及两数的平方和形式的四个代数式，只要知道这些式子中任意两个代数式的值，就可以逆用完全平方公式，求另外两个代数式的值.
3. (2025·广东广州番禺区期中)已知a+b=3, ab=-1.求下列代数式的值：
(2)a-b.
子题练思维
变式3.1(2024·四川宜宾期末)对于两数和(差)的完全平方公式( 中的三个代数式： 和 ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值.由此解决下列问题：
(1)若 则a-b= ;
(2)若 x 满足 求(65-x)(x-50)的值;
(3)如图,在长方形ABCD 中,AB=12,BC=8,点E,F 分别是边AD,AB 上的点,且 DE=BF=a,分别以 AE,AF 为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN 和正方形APQF，若长方形AFGE 的面积为56，求图中两个正方形的面积之和.
母题学方法4 完全平方公式的延伸
在掌握完全平方公式的基础上，还应当熟悉(a+b)”展开式的特点.
4.我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，揭示了(a+b)"(n为非负整数)展开式项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方(左右)两数之和，例如：
它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；
它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1,3,3,1,系数和为8;···.
的展开式的系数分别为 ，系数和为 ；
(2)(a+b)"展开式共有 项,系数和为 .
子题练思维
变式4.1若今天是星期二，经过 8100 天后是星期 ;
变式4.2 计算: 5×2-1.
母题学方法5平方差公式的延伸
在掌握平方差公式的基础上，还应当熟悉a"-b"展开式的特点.
5.(1)填空并观察下列各式的规律：
(a-b)(a+b)= ;
可得到
(2)猜想: (其中n为正整数，且n≥2).
子题练思维
变式5.1 计算: 3 +3+1)= .
变式5.2计算：
变式5.3 若多项式 P,Q 满足(a+b)·P= 用一个含a，b的式子表示出P，Q之间的数量关系.
母题变式提优(四)乘法公式的灵活运用及延伸
1.(1)原式
(2)原式
变式1.1 (1)原式=(10-0.1)×(10+0.1)=100-0.01=99.99.
(2)原式=(1000+3)×(1000-3)=1000 000-9=999991.
(3)原式
2.尝试:①> [解析]∵a=-1,b=-2,
②> [解析]∵a=2,b=5,
③= [解析]∵a=b=3,
验证： 理由如下：
即
应用：
根据验证的结论，得( 即
的最小值为18-1=17.
变式2.1
③当a=b时,
甲同学：当a=b时，
∴当a=b时,
乙同学：
(变式2.1)
如图,当a=b时,
(2)由(1)得 的最小值为18.
变式3.1 (1)±2[解析]·
，即
∴a-b=±2.
∴(65-x)(x-50)
(3)∵AB=12,BC=8,且DE=BF=a,
∴AE=8-a,AF=12-a.
∵长方形AFGE 的面积为56,
∴AE·AF=(8-a)(12-a)=56.
图中两个正方形的面积之和为( [(8-a)-(12-a)] +2(8-a)(12-a)=(-4) +2×56=128.
4.(1)1,5,10,10,5,1 2 [解析]根据杨辉三角可知,
的展开式的系数分别为1,5,10,10,5,1,
∴系数和为1+5+10+10+5+1=32=2 .
(2)n+1 2” [解析]( 共有2项，系数分别为1,1,
,共有3 项,系数分别为1,2,1,
，共有4项，系数分别为1，3,3,1,
共有 5 项，系数分别为1,4,6,4,1,
…,
∴(a+b)"展开式中共有n+1项.
令(a+b)"中a=1,b=1,则(a+b)"的展开式中的每一项正好是每一项的系数，
的展开式中各项的系数和为(
变式4.1三 [解析]: 的最后一项是1，则 的余数是1，
∴若今天是星期二，经过8 天后是星期三.
变式4.2根据规律可知，
变式
变式5.2 令a=3,b=-1,n=21,
则((
变式5.3
当n=2024时,
当n=2025时,[

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