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2025-2026学年河南省南阳市第一中学校高一上学期开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.方程组的解集是( )
A. B. C. D.
3.已知正实数满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5.如果，是实数，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. ，
C. D.
8.在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即，其中是距离单位，是质量单位，是弹簧系数单位弹簧系数分别为，的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数满足，并联时得到的弹簧系数满足已知物体质量为，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 已知集合，且，则集合的真子集个数是
B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.不等式的解集为 ．
12.命题“”的否定是 ．
13.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本与产量的函数关系式为，销售单价与产量的函数关系式为要使每件产品的平均利润最大，则产量等于 ．
四、解答题：本题共4小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知集合
当时，求；
若，求实数的值．
15.本小题分
设全集，集合，，其中．
若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围；
若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知不等式的解集为或．
求，；
解关于的不等式．
17.本小题分
某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为．
当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.【详解】由题意得，
所以．
因为，所以，则，
所以．

15.【详解】，
“”是“”的必要而不充分条件，
，解得，
即实数的取值范围为；
若命题“，使得”是假命题，则，
，或，
当时，，解得，
当时，则，无解，
即命题为假命题时，实数的取值范围为
命题为真命题时，实数的取值范围为．

16.【详解】因为不等式的解集为或，
所以与是方程的两个实数根，且．
由根与系数的关系，得，解得；
原不等式化为：，即，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为．

17.【详解】解：因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为．
设甲工程队报价为元，所以．
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为元．
根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立．
因为，当且仅当，即时，等号成立，所以．
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．

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