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2025-2026学年西北工业大学附属中学高一上学期第一次大练习
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把多项式分解因式，得，则的值分别是( )
A. B. C. D.
2.用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是( )
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 五棱柱 D. 正方体
3.若和是的两个平方根，则的值是( )
A. B. C. D.
4.掷两次质地均匀的骰子，掷得的点数之和恰好为所选数字时获胜．如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
6.若，则的值可能是( )
A. B. C. D.
7.如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.六名运动员比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天与各赛了局，与各赛了局，赛了局，且和和之间都还没赛过，那么已赛 局
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点过点作轴的垂线，与轴交于点线段与交于点，点为中点，则的值为( )
A. B. C. D.
10.满足方程的正整数解有 组．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系为 用“”连接．
12.如图，点是一次函数与反比例函数的两个交点，则时自变量的取值范围是 ．
13.已知函数与的图象交于点，则代数式的值是 ．
14.如图，的直径为，矩形内接于为上一点，且分别交于点，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先化简：，再从中选择一个合适的数代入并求值．
16.本小题分
解方程：．
解不等式组：．
17.本小题分
如图，以的边为直径的与边相交于点，过点作于点．
求证：为的切线；
若的直径为，求的长．
18.本小题分
如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．

求抛物线的表达式；
如图，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
如图，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接抛物线上是否存在点不与点重合，使得若存在，求点的横坐标；若不存在，说明理由．
19.本小题分
对实数，用表示“不大于的最大整数”，用表示“不小于的最小整数”例如．
若，求的值．
若，求的取值范围．
记，是否存在实数，使得？若存在，求的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.令，解得或；
令，解得；
可知的取值范围为．
则，
结合题意只可取，代入得．

16.由，则，即，
所以，整理得，解得舍或；
由或．

17.连接，因为分别为的中点，所以，
因为，所以，
因为为半径，所以为的切线．
过点作于，
因为，所以，
因为，所以为等腰直角三角形，所以．
因为的直径为，所以，所以，解得．
因为，所以，
所以四边形为矩形，所以．

18.由顶点的横坐标为，可得，解得，
所以抛物线的表达式为：；
由，令，可得，
令，可得，解得：或，
故得，所以直线方程为：，即，
将直线沿轴向上平移个单位长度可得，
将其与抛物线方程联立，可得，
即，由题意可得：，解得，
又，所以的取值范围是．
由可得：，
则点到直线的距离，
设，因为，
所以到的距离，
即：，即或，
解得：，或或舍去，
所以存在点，使得，该点横坐标为或或．

19.若，则，
可得，解得；
若，则，
可得，解得，不合题意；
综上所述：．
若，则，
可得，解得，不合题意；
若，则，
可得，解得，可得；
综上所述：的取值范围为．
若，则，可得；
若，则，
可得；
综上所述：．
可知当且仅当时，为偶数，否则为奇数，
且为奇数，可知中只有个整数或只有个整数，
若为整数，则均为整数；
若为整数，则必为整数；
在不为整数的前提下，不可能同时为整数，不可能同时为整数；
据此可知中只有个整数，且整数只能或，
可设，
若为整数，则，
若，则，，，
可得，
解得，不合题意；
若，则，，，
可得，
解得，不合题意；
(ⅱ)若为整数，则，
若，则，，，
可得，解得；
若，则，，，
可得，
解得，不合题意；
综上所述：，，
所以存在实数，使得，此时．

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