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2025-2026学年上海市杨浦高级中学高一上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则“”是“”的 条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
2.已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. 或 D.
3.已知集合，，，则集合的关系为( )
A. B.
C. D.
4.以某些整数为元素的集合具有以下性质：
中元素有正数，也有负数；中元素有奇数，也有偶数；
；若，则．
则下列选项哪个是正确的( )
A. 集合中一定有但没有 B. 集合中一定有可能有
C. 集合中可能有可能有 D. 集合中既没有又没有
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.已知全集，则 ．
6.已知的两边长，则第三边的长的取值范围用区间表示为 ．
7.命题“存在，使得”的否定是
8.已知等式恒成立，则常数
9.已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
10.已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是 ．
11.已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是 ．
12.方程至少有一个负实根的充要条件是 ．
13.设是个有理数，使得，则 ．
14.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，求；
已知集合，是否存在实数，使得若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由．
16.本小题分
设，求关于的方程的解集．
用反证法证明：若，且，则中至少有一个不小于．
17.本小题分
已知集合，集合．
若，求；
若，且，求的值．
18.本小题分
如图，已知二次函数的图像与轴相交于点、点在点的左侧，与轴相交于点，连接、．
求线段的长；
若平分，求的值；
该函数图象的对称轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知正整数，若正整数集的子集同时满足
条件：对任意，存在唯一，使得；
条件：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为“可表集合组”．
若，则是否为“可表集合组”？说明理由，
若为“可表集合组”，求的最小值；
若为“可表集合组”，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.对任何，都有．
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.或
15.【详解】由题意可得，解得
所以；
存在，，理由如下：
因为，则，
若，则，此时，不合题意；
(ⅱ)若，则或，
当时，则，符合题意；
当时，此时，不合题意；
综上所述：．

16.【详解】由可得：，即：．
当时，等式恒成立，方程的解集为；
当时，方程的解为，所以解集为．
终上所述：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为．
假设都小于，即，则有．
由已知有
，
与由假设推得的结论矛盾，
所以假设不成立，
所以中至少有一个不小于．

17.【详解】因为，所以，即是方程的根，
所以，解得，
所以由方程解得或，
所以，
又由解得或，
所以，所以．
由题可知是方程的两个根，
因为，所以，解得或
由韦达定理得，
因为，
即解得或，
又因为或，所以．

18.【详解】二次函数的图象与轴相交于点、，
令，则，
或，
，，
，
故答案为；
如图，
由知，，，
，，
令，，
，
，
过点作，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
舍或舍或；
存在，
理由：假设存在，如图，
二次函数，
抛物线对称轴为，
点是的垂直平分线上，
是等边三角形，
，，
点是的垂直平分线上，
点是的外接圆的圆心，
，
，
，，
，，
，
函数图象的对称轴上存在点，使得为等边三角形．

19.【详解】不是“可表集合组”．
因为，其元素中仅有一个奇数，
则，若为偶数，则必为中两个偶数元素之和，至少为，
可得，所以不是“可表集合组”．
的最小值为首先给出的例子：
令，
可知则为“可表集合组”．
下面假设某个满足题设要求，则对任意，存在，使得．
注意到表示为两个不同正整数的和只能是，
不妨设，
因为对任意，存在，使得，
注意到表示为两个不同正整数的和只能是，
所以，
注意到表示为两个不同正整数的和只能是，
所以对任意，均有，
与是“可表集合组”矛盾．
所以假设不成立，综上所述：的最小值为．
的最大值为．
首先给出的例子：
令，，
，
则为“可表集合组”．
下面假设某个满足题设要求，
显然也满足题设要求，故可不妨设，
令，
显然对任一下标这个数中任一数均可写成的两个元素之和，
从而中元素至少有五个，
注意的元素个数之和为，从而必存在某个，使得的元素个数不大于，
设，
可知中两个不同元素之和所表示的这个数恰可被中两个不同元素之和所表示，
则这些数的和为，
与均为正整数矛盾，所以假设不成立．
综上所述：的最大值为．

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