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2025-2026学年四川省绵阳东辰国际学校高一上学期开学分班检测
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.在实数，，，，，中，无理数的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.有以下个数：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，它们的和是( )
A. B. C. D.
3.如图，为的两条弦，连接，点为的延长线上一点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第百分位数是众数的倍，则该组数据的方差是( )
A. B. C. D.
5.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐水的浓度为( )
A. B. C. D.
6.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，先测得，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
7.用表示，两数中的最小数，若函数，则的图象为( )
A. B.
C. D.
8.下列各组数轴上的点中，点位于点的右侧的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.计算的值是 ．
10.已知定义在上的偶函数，当时，，则的值为 ．
11.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：研究发现，满足公式为常数，且当温度为时，声音传播的速度为
温度
声音传播的速度
12.由一次函数，和轴围成的三角形与圆心在、半径为的圆构成的图形覆盖的面积等于 ．
13.在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ．
14.若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ．
15.定义：如果函数在上行仕，满足，则称函数是上的“双中值函数，已知函数是上“双中值函数，则实数的取值范围是 ．
16.几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题如图，一个边长为的正五边形有条对角线，这些对角线分别相交于，，，，五点，它们组成了另一个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
17.如图，矩形的对角线交于点，将沿着翻折到，与交于点设，的面积为，则 用和表示
18.在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和不大于的取法种数进行了探究发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；若时，则的值为 ；若，则的值为 ．
四、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
年我国进行了第六次人口普查，年月国家统计局发布了此次普查的主要数据国家统计局的公告中有下面两张图．
图是我们学习的图表中的哪一种？此图反映怎样的信息？
根据这两张图，给出你的分析结论．
21.本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
过点任作直线交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另一点求证：直线与直线的交点为定点为坐标原点，并求出该定点．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；
过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24.本小题分
已知是关于的一元二次方程的两实数根．
若，求的值；
已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
25.本小题分
如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，，矩形沿直线折叠，点落在边上的处，、分别在、边上且．
求点坐标
求直线解析式
点在坐标轴上，直线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由
26.本小题分
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质已知三角形纸片和中，．
【初步感知】
如图，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
如图，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.
18.
19.解：
；
原式，
把代入得原式．

20.解：这是个条形统计图，纵坐标对应人数，说明我国的人数越来越多．
由图可得我国的人数越来越多，且离开户口登记地所在的乡镇街道半年以上人口占比越来越大，说明人口流动越来越大．

21.解：把点代入，解得
反比例函数的表达式为
点在图象上，，即
把，两点代入，可得
解得，
所以一次函数的表达式为．
由已得，
当时，，，即．
当时，，，即，
由勾股定理，，
，，
设，由题意，点在点左侧，则，显然
如图，当时，
，，
解得，故点坐标为；
如图，当时，
，，
解得，即点的坐标为．
因此，点的坐标为或时，与相似．

22.解：如图，做变换，由，即将椭圆还原成圆，
则点，斜率为，斜率为，
所以，由垂径定理，关于直线对称，
设与圆交于弧对应圆心角为，设弧对应圆心角为．
则弧对应圆心角为．
连接，则与交点为．
由外角和定理可得，
，又，
则，从而，又，
则，，
又直线方程为，结合图形，可得，所以直线与直线的交点为定点．

23.解：因为抛物线过点，且对称轴为直线，
所以，解得
所以抛物线的解析式为．
当时，直线为，
令解得，令解得，所以，，
所以，将代入解得，所以直线方程为，
因为抛物线可由平移得到，
当点在抛物线上，由解得或，
结合图象可知至多向右平移个单位，
当的图象向左平移至与有一个交点时，
联立得，
令解得，
此时由解得，即交点坐标为，在线段上，
结合图象可知至多向左平移个单位，
综上的取值范围为．
解法一：因为直线，所以当时，，即，
根据对称性在这里不妨只考虑的情况
因为所以抛物线的对称轴为直线，所以点在抛物线的对称轴上，
因为过点，且与直线垂直，所以，
设直线的解析式为，将代入得，故，
在直线上取点，，在上取点，使，作轴，轴，
则，，
，，所以
所以，
所以，则，，
所以，解得，
所以直线的解析式为，即：，
联立整理，得，
所以，，
由为的中点，得，
联立，同理可得，
假设存在点，设，使得总是平分，
如图，作，
因为平分，所以，故，
所以，则，
由于要在的同一侧，故同正或者同负，解得
所以抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
解法二：对于直线令解得，所以，则在抛物线对称轴上，
联立得，设，，
由韦达定理可得，
因为是中点，所以点横坐标，则，即，
因为，且，所以，
又直线过点，所以直线方程为，
联立得，设，，
由韦达定理可得，
因为是中点，所以点横坐标，则，即，
因为轴，所以平分时，，
设，则，
所以对任意恒成立时，解得，
所以存在定点使得总是平分，其坐标为．

24.解：因为是关于的一元二次方程的两实数根．
所以
又因为，所以，
所以，即，解得或，
当时，，不符合题意，故舍去，
所以，经验证满足；
当为底边长时，方程有两个相等的实数根，
所以，解得，
所以方程为，解得，
又因为，所以不能构成三角形；
当为腰长时，设，代入方程得，
解得或，
当时，方程为，解得，
又，所以不能构成三角形；
当时，方程为，解得，
此时能构成三角形，的周长为．
综上，的周长为．

25.解：由，得，，由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得，，
而，则，即，
所以．
在中，由，，
由折叠的性质得知：，在中，，
则，，设直线的表达式为，
因此，解得
所以直线解析式是．
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况：
为平行四边形的一边，点在轴上，为平行四边形，如图，
过点作的平行线，交轴于点，再过点作的平行线，交于点，得，
由，直线的解析式为，
得直线的解析式为，当时，，
由，且，，，则；
为平行四边形的一边，点在轴上，为平行四边形，如图，
由为平行四边形，得与互相平分，而，点纵坐标为，
则中点的纵坐标为，设其横坐标为，又中点与中点重合，
则，解得，则点的坐标为，
由，且，，，于是．
为平行四边形的一边，点在轴上，为平行四边形，如图，
由为平行四边形，得与互相平分，而，点横坐标为，
则中点的横坐标为，与的横坐标互为相反数，即的横坐标为，
当时，，因此．
为平行四边形的对角线，为平行四边形，如图，
过点作的平行线，交轴于点，连结与的中点并延长，交于点，得
由，，得中点坐标为，
而的中点与的中点重合，且的纵坐标为，则的纵坐标为，
设的横坐标为，则，解得，因此．
所以直线上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时点坐标为：．

26.解：
，
，即，
，
连接，延长交于点，连接交于，延长交于，如图：
根据得，
是中线，
，即
，
四边形是平行四边形，
四边形矩形，
，
，设，则，
，
解得
，
，
，解得．
如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，
，
四边形是矩形，，
，故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
解得；故．
综上所述，直角三角形的面积为或或或．

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