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2025-2026学年河南省叶县高级中学高一上学期学习能力摸底测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中正确的是( )
A. 与表示同一个集合
B. 集合与是两个相同的集合
C. 方程的解集为
D. 集合可以用列举法表示
2.已知集合，的元素个数为，则集合可能为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
4.若集合，，且，则实数的值可以是 ．
A. B. ， C. ，， D. ，，，
5.已知集合，，若为的真子集，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若集合，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
7.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. B. C. D.
8.已知集合，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合或，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.设全集为，非空真子集满足：，则( )
A. B. C. D.
11.设集合，或，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则的取值范围是 ．
13.设集合若，则 ．
14.若当时，一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．
大于且小于的正整数构成的集合；
小于的质数组成的集合；
方程的实数根组成的集合；
函数图象上的所有点组成的集合；
不等式的解组成的集合．
16.本小题分
已知，求实数的值；
已知，求实数，的值．
17.本小题分
已知，，全集
若，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
设，，
，求的值；
若非空，且，求的值；
，求的值．
19.本小题分
已知集合，集合满足．
判断，，，中的哪些元素属于；
证明：若，，则；
证明：若，则．
参考答案
1.
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4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：由大于且小于的正整数，则，故，是有限集；
因为小于的质数有，，，，所以，是有限集．
方程的实数根为、，所以，是有限集．
由表示坐标系中的曲线，故，是无限集．
由，得，所以，是无限集．

16.解：若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以，
若时，解得或，当时，，，所以满足题意，
当时，，，不满足集合的互异性，所以，
若，解得舍或舍，
综上，实数的值为．
因为，则或
由，解得，由，解得，
经检验，和均符合题意，
综上，或．

17.解：当时，，
所以或，
又因为，
所以．
由可得．
所以当时，有，解得；
当时，有，解得．
综上，所以的取值范围为．

18.解：，，
．
和是方程的两个根，
．
，非空且，
与有公共元素而与无公共元素，
，，解得，或．
当时，满足题意；
当时，此时不满足题意，
．
，，
，解得．
当时，满足题意；
当时，不满足题意，故．

19.解：因为，所以；
因为，所以；
因为没有倒数，所以；
因为，所以；
综上可得，．
先证明：若，，则；
设，，为整数，
所以，
由于，都是整数，所以，
当，时，，，所以，所以；
因为，
所以，
所以，都是整数，
所以为整数，
所以，
假如，则，则应为的倍数，
设为整数，若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
所以，即．

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