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2025-2026学年河南省天一大联考高一年级秋季检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列各选项正确的是( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设集合，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知集合，且，则的非空子集的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知表示，，中的最大者，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若集合中只有一个元素，则
B. 已知，，则“”是“”的必要不充分条件
C. “是方程的一个实数根”的充要条件是“”
D. “，”是假命题
10.已知，，，则下列命题错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知集合，则下列说法正确的是( )
A. 所有的奇数都是中的元素
B. 所有的偶数都是中的元素
C. 如果，，那么
D. 如果，，那么
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为 ．
13.若，则的最小值为 ．
14.设集合，，，则中元素的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
求；
求，．
16.本小题分
已知集合，．
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
设，是关于的方程的两个实数根．
若，求，
若，求的值
若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知正数，满足．
求证：
求的最小值
求的最小值．
19.本小题分
假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖其中，，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜．
根据这个生活常识，提炼出一个不等式
证明你提炼出的不等式
求证：，且
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
，
所以．
因为，，
所以
所以．
由知，
所以或．
16.解：是的必要条件，
，
实数的取值范围为．
，
，
当时，即，即，则满足，
当时，即，则
，该不等式组无解，
综上所述实数的取值范围为．
17.解：若，则方程为，
即，故，．
由，可得，
因为，，
所以，
整理得，
解得或，经检验符合题意．
因为，是两个不相等的正数，
所以
解得
所以或，
即的取值范围是或．
18.解：由题意，
等号成立条件：且，即，均为正数．
由可得．
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．
因为，
所以，当且仅当，时等号成立，
又，
所以，
则的最小值为．
19.解：
由“糖水更甜”可知，添加糖后糖水浓度增大．
原糖水浓度为，添加克糖后浓度为，
因此提炼的不等式为：其中，。
由得，结合，分子；
分母
因此差为正，即，故成立．
设且，需证明．
先证明，
由第问结论，对任意，令，，满足，，
则：
将的上述不等式相乘：
左边，
右边中间项约去．
因此，两边开平方得．
证明左边：
对任意，证明：
平方两边均为正数得，即证。
左边，
右边，
所以，
故不等式成立，即
将的上述不等式相乘：
两边乘以得：
综上，成立，
即，且不等式成立．
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