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2025-2026学年湖南省永州市第一中学高一直升班上学期拓展研学（一）暨第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列五个写法：；；；；，其中错误写法的个数为( )
A. B. C. D.
2.有三支股票，，，位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的倍．在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多在只持有一支股票的人中，有一半持有股票．则只持有股票的股民人数是( )
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.集合，则满足条件的集合的个数( )
A. B. C. D.
5.已知某班有名同学，据统计发现同学们喜爱的第届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目名同学只喜欢乒乓球比赛，名同学只喜欢跳水比赛，名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有名，喜欢跳水与射击比赛的同学有名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
6.关于的不等式，的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
11.若正实数，满足则下列说法正确的是( )
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值是 ．
13.若实数，满足，，且，则称与互补．记，那么“”是“与互补”的 条件．
14.若函数的最大值是，则实数的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是二次函数，且，．
求的解析式；
求在区间上的最大值．
16.本小题分
已知集合为非空数集，定义：，实数，可以相同
若集合，直接写出集合、；
若集合，，且，求证：；
若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
17.本小题分
已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．
求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
已知关于的方程在内有两个不同的解、．
求实数的取值范围；
证明：．
18.本小题分
已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有．
判断函数的单调性；
解不等式：；
若对所有，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，或．
若，求的取值范围；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.充要
14.或
15.解：根据题意，设 ，
因为 ，可得 ，即 ，
又由 ，
且 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，
可得 ，解得 ，所以 ．
由知 ，
可得函数 的图象开口向上，且对称轴为 ，所以 ，
当 时，函数 在区间 上的最大值为 ；
当 时，可得 ，所以函数 在区间 上的最大值为 ，
综上可得，当 时， 的最大值为 ；当 时， 的最大值为 ．

16.【详解】因为集合，，，
所以由，可得，
，可得．
由于集合，，
则集合的元素在，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而为个元素中的最大者，
故即，故，
故中的个元素为，，，，
且，，与，，重复，
而，故即，
而，故，故或，
若，则，，与题设矛盾；
故即．
设满足题意，其中，
则，
，，，
，由容斥原理，
中最小的元素为，最大的元素为，，
，即，．
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是．

17.【详解】解法一：将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为
其中
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故的取值范围是．
因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，．
当时，
当时，
所以
解法二：同解法一．
同解法一．
因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，．
当时，
当时，
所以
于是

18.【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以，
设则由得到，
即，由函数单调性的定义易得函数是定义在上的增函数．
由知函数是定义在上的增函数，且；
则有，解得，所以不等式的解集为
因为，所以，若对所有，
恒成立，则成立，且，
所以对恒成立，即，恒成立，
令，则，即，解得，故实数的取值范围为

19.【详解】当时，，，．
当时，要使，必须满足，解得．
综上所述，的取值范围是．
，，或，
，解得，
故所求的取值范围为．

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