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2025-2026学年广东省雷州市第二中学高一上学期开学摸底考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.2025 年 1 月 26 日，合肥 2024 年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长 6.1%，高于全国 1.1 个百
分点，总量 13507.7 亿元．“13507.7 亿”用科学记数法可以表示为( )
A. 1.35077 × 1012 B. 13507.7 × 108 C. 13507.7 × 1012 D. 1.35077 × 108
3.下列运算正确的是( )
A. 3 2 = 5 B. 3 3 2 3 = 6 9
C. 4 4 ÷ ( ) = 4 3 D. + 3 2 = 4 3
4.如图，直线 // ，直线 ⊥ ，若∠1 = 55 ，则∠2 =( )
A. 35° B. 40° C. 45 D. 50°
5.下列说法正确的是( )
A.我校高个子的同学能组成一个集合
B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C.数 1,0,5, 1 23 , 3 ,
4 , 16 9组成的集合中有 7 个元素
D.由不大于 4 的自然数组成的集合的所有元素为 1，2，3，4
6.下列命题中正确的是( )
A.集合 , 的真子集是 ,
B. { ∣ 是菱形} { ∣ 是平行四边形}
C.设 , ∈ R, = 1, , = 1, ，若 = ，则 = 2
D. = 2 1 = 0
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7.已知集合 = { | 2 3 + 2 = 0, ∈ R}， = {1,2,3,4,5}，则满足条件 且 的集合 的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 8 D. 7
8.集合 = = 7 2, ∈ N ， = = 7 + 5, ∈ N ， = = 14 + 5, ∈ N 的关系是( )
A. B. = C. = D. =
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集 = 0,1,2,3,4 ，集合 = {0,1,4}， = 0,1,3 ，则下列结论正确的是( )
A. ∩ = 0,1 B. = 4
C. ∪ = 0,1,3,4 D.集合 的真子集个数为 8
10.对于二次函数 = 2 + 2 ，下列结论中正确的是( )
A.它的对称轴是直线 = 1
B.当 = 2 时，有 = 0
C.它的图像与 轴的两个交点是(0,0)和(2,0)
D.当 0 < < 2 时， > 0
11 1+ .已知由实数组成的非空集合 满足：若 ∈ ，则1 ∈ .下列结论正确的是( )．
A.若 2 ∈ ，则 12 ∈ B. 0
C. 可能仅含有 2 个元素 D. 所含的元素的个数一定是 4 ∈ +
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若关于 的一元二次方程 2 2 + 1 = 0 无实数根，则 的取值范围是 ．
13.已知 2 ∈ 2 , 2 + ，则 的值为 ．
14.已知非空集合 , 同时满足以下四个条件：
① ∪ = 1,2,3,4,5 ；② ∩ = ；③ ( ) ；④ ( ) ．
注：其中 ( ), ( )分别表示 , 中元素的个数．
如果集合 中有 2 个元素，请写出所有满足条件的集合 ： ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
计算
(1)解方程： 2 + 2 8 = 0；
(2) 解分式方程： 1 +
2
1 = 4．
16.(本小题 15 分)
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劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了
解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了 名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下
不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间 (单位：小时) 频数
0.5 ≤ < 1 12
1 ≤ < 1.5
1.5 ≤ < 2 26
2 ≤ < 2.5 16
2.5 ≤ ≤ 3 4
(1) =___________， =___________；
(2)若该校学生有 640 人，试估计劳动时间在 2 ≤ ≤ 3 范围的学生有多少人？
(3)劳动时间在 2.5 ≤ ≤ 3 范围的 4 名学生中有男生 2 名，女生 2 名，学校准备从中任意抽取 2 名交流劳
动感受，求抽取的 2 名学生恰好是两名女生的概率．
17.(本小题 15 分)
已知集合 = ∣2 < < 6 ，集合 = ∣2 < < 2 ．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知全集 = R，集合 = 1 < < 2 , = 0 < ≤ 3 .求：
(1) ∩ 及 ∪ ；
(2) ( ∪ )及 ∩ B
19.(本小题 17 分)
已知集合 为非空数集，定义： = ∣ = + , , ∈ , = { | = | |, , ∈ }．
(1)若集合 = 1,2 ，直接写出集合 ，
(2)若集合 = 1, 2, 3, 4 , 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，求证： 1 + 4 = 2 + 3；
(3)若集合 0 ≤ ≤ 2024, ∈ , ∩ = ，记| |为集合 中元素的个数，求| |的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. > 1
13. 2
14. 3,1 , 3,4 , 3,5
15.【详解】(1)解：∵ 2 + 2 8 = 0，
∴ ( + 4)( 2) = 0，即 + 4 = 0 或 2 = 0，
解得： 1 = 4， 2 = 2；
(2) 2解： 1 + 1 = 4，
去分母，得 2 = 4( 1)，
去括号，得 2 = 4 4，
移项，合并同类项，得 3 = 2，
2
系数化为 1，得 = 3，
检验：当 = 23时， 1 ≠ 0，
∴ 2原分式方程的解为： = 3．
16.【详解】(1)由题意， = 12 ÷ 15％ = 80, = 80 12 26 16 4 = 22．
(2)640 × 16+480 = 160(人)，所以估计劳动时间在 2 ≤ ≤ 3 范围的学生有 160 人．
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(3)画树状图，如图：
共有 12 种等可能的结果，其中抽取的 2 名学生恰好是两名女生的有 2 种，
∴ 2 1抽取的 2 名学生恰好是两名女生的概率为12 = 6．
17.【详解】(1)因为 ，如图，
2 > 2 < 2
所以 2 ≤ 2 3，解得 ≤ 1，所以 ≤ 4，
2 ≥ 6 ≤ 4
即 的取值范围是 ∣ ≤ 4 ；
(2) = 2当 时，符合题意，此时有 2 ≥ 2 ，即 ≥ 3；
当 ≠ 时，如图
或
2 < 2 2 < 2
有 2 ≥ 6①，或 2 ≤ 2②,
2 2
解①得 ∈ ，解②得 0 ≤ < 3，所以此时 0 ≤ < 3，
综上，实数 的取值范围为 ∣ ≥ 0 ．
18.(1)由 = 1,2 ，根据定义： = ∣ = + , , ∈ , = { | = | |, , ∈ }，
所以 = 2,3,4 , = 0,1 ．
(2)由于集合 = 1, 2, 3, 4 , 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，
所以 也只有四个元素，即 = 0, 2 1, 3 1, 4 1 ，
因为 3 2 < 3 1， 4 3 < 4 2 < 4 1，
所以 2 1 = 3 2 = 4 3， 4 2 = 3 1，
所以 2 1 = 4 3，即 1 + 4 = 2 + 3．
(3)设 = 1, 2, 3, ，其中 1 ≤ ≤ 2025, ∈ ，
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不妨设 1 < 2 < 3 < < ，
则 2 1 < 1 + 2 < 1 + 3 < < 2 + < 3 + < < 1 + < 2 ，
所以| | ≥ 2 1，
因为 1 1 < 2 1 < 3 1 < < 1, | | ≥ ，
又因为 ∩ = ，所以| ∪ | ≥ 3 1，
∪ 中最小的元素为 0，最大的元素为 2 ，| ∪ | ≤ 2 + 1，
所以 3 1 ≤ 2 + 1 ≤ 2 × 2024 + 1 ∈ N , ≤ 1350，
实际上当 = 675,676,677 2024 时满足题意，
证明如下：
设 = , + 1, 2024 , ∈ N，
则 = 2 ,2 + 1,2 + 2, , 4048 ， = 0,1,2, , 2024 ，
依题意有 2024 < 2 > 2024，解得 3 ，
故 的最小值为 675，于是当 = 675 时， 中元素最多，
即 = 675,676,677, 2024 时满足题意，
综上所述，集合 中元素的个数的最大值为 1350．
19.【详解】(1)由 = 1,2 ，根据定义： = ∣ = + , , ∈ , = { | = | |, , ∈ }，
所以 = 2,3,4 , = 0,1 ．
(2)由于集合 = 1, 2, 3, 4 , 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，
所以 也只有四个元素，即 = 0, 2 1, 3 1, 4 1 ，
因为 3 2 < 3 1， 4 3 < 4 2 < 4 1，
所以 2 1 = 3 2 = 4 3， 4 2 = 3 1，
所以 2 1 = 4 3，即 1 + 4 = 2 + 3．
(3)设 = 1, 2, 3, ，其中 1 ≤ ≤ 2025, ∈ ，
不妨设 1 < 2 < 3 < < ，
则 2 1 < 1 + 2 < 1 + 3 < < 2 + < 3 + < < 1 + < 2 ，
所以| | ≥ 2 1，
因为 1 1 < 2 1 < 3 1 < < 1, | | ≥ ，
又因为 ∩ = ，所以| ∪ | ≥ 3 1，
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∪ 中最小的元素为 0，最大的元素为 2 ，| ∪ | ≤ 2 + 1，
所以 3 1 ≤ 2 + 1 ≤ 2 × 2024 + 1 ∈ N , ≤ 1350，
实际上当 = 675,676,677 2024 时满足题意，
证明如下：
设 = , + 1, 2024 , ∈ N，
则 = 2 ,2 + 1,2 + 2, , 4048 ， = 0,1,2, , 2024 ，
依题意有 2024 < 2 2024，解得 > 3 ，
故 的最小值为 675，于是当 = 675 时， 中元素最多，
即 = 675,676,677, 2024 时满足题意，
综上所述，集合 中元素的个数的最大值为 1350．
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