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2025-2026学年四川省乐山沫若中学高二上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 i = 1 + 3i( 为虚数单位)，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
2.已知圆柱的底面半径为 1，体积为 3π，则该圆柱的侧面积为( )
A. π B. 2π C. 3π D. 6π
3.空间中有两个不同的平面 , 和两条不同的直线 , ，则下列说法中正确的是( )
A.若 // , // ，则 // B.若 // , // , // ，则 //
C.若 ⊥ , // , // ，则 ⊥ D.若 // , ⊥ , // ，则 ⊥
4.如图，在 中， 是边 上一点，且 = 2 ，点 是 的中点．设 = ， = ，则 可以表
示为( )
A. 1 + 1 B. 1 + 1 C. 1 1 2 6 6 2 2 6 D.
1
6
1
2

5.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界
上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体 的棱长都是 2(如图)， ， 分别为棱 ，
的中点，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.如图，在长方体 1 1 1 1中，底面 是边长为 2 的正方形，侧棱 1 = 4，点 , 分别为 1,
的中点，则异面直线 和 1所成角的正弦值为( )
A. 13 B.
5 2 5
2 C. 3 D. 3
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7.已知 cos( + ) = 15 , cos( ) =
3
5，则 tan tan =( )
A. 1 12 B. 2 C. 2 D. 2
8.在平行六面体 1 1 1 1中， ， 分别是线段 1 ， 1 1上的点，且 1 = 2 ， 1 = 2 1，
若 1 1 = 1 1 = 1 = 1，∠ 1 1 1 = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，则下列说法中正确的是( )
→
A. 与 1 1的夹角为 45° B. =
1 + 2 + 1 13 3 3
C.线段 1 的长度为 1 D.直线 1 与 1所成的角为 60°
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 中，点 (1,2)， (2,0)， (3,2)分别为 ， ， 的中点，则( )
A. = (1,2) B. = (1, 2)
C.点 的坐标为(2,4) D. 的面积为 4
10.已知函数 ( ) = 3sin π6 ，其中 > 0
π
，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为2，则下列说法正确
的是( )
A. = 2
B. π函数图象关于点 24 , 0 对称
C. 0, π函数在区间 6 单调递增
D. π函数的图象可以由 = 3sin 的图象向右平移6个单位得到
11.如图正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则下列四个命题中正确的是( )
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A.正方体被面 1 分割成两部分的体积比为 1: 5
B.点 2到平面 1 1的距离为 2 ．
C. 3四面体 1 1的外接球体积为 2 π
D.二面角 1 的大小为 60°
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = (2,3), = ( , 6)，且 ‖ ，则 = ．
13.如图， ， 两点在河的两岸，在 同侧的河岸边选取点 ，测得 = 20m，∠ = 75°，∠ = 60°，
则 ， 两点间的距离为 .
14.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱柱 1 1 1为一“堑
堵”， 是 1的中点， 1 = = = 4，则该“堑堵”的外接球的表面积为 ；在过点 且与直线 1
平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， 为侧棱 的中点，且 = = = 4．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求三棱锥 的体积．
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16.(本小题 15 分)
3
已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边，且 cos 3 sin = 0．
(1)求 ；
(2) 3 3若 = 3，且 的面积为 2 ，求 的周长．
17.(本小题 15 分)
函数 ( ) = sin( + )( ∈ R, > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如下图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的单调递增区间；
(3) = ( ) 5π将函数 的图象向右平移24个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 = ( )的图象，
求 ( )在区间[0, 2π3 ]上的最值．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，底面 为正方形， , 分别为 , 的中点，设
平面 ∩平面 = ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求证： // ；
(3)若 ⊥ ，二面角 的大小为 30°，求 与底面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
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⊥ , // , = 1如图，在四棱锥 中， 底面 2 ,四面体
4
的体积为3 , △ 的面积
为 2 2．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 = ，平面 ⊥平面 ，证明： ⊥平面
(3)在(2)的条件下，在棱 上是否存在一点 ，使平面 与平面 夹角为60 ，若存在，求 的长.若不
存在，说明理由
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4
13.10 6
14.48π；6 3
15.【详解】(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ;
(2)由 = 4，由(1)知∠ = 90°， ⊥平面 ，
又三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积，
1
所以，所求三棱锥的体积 = 3 ×
1
2 × 4 ×
1
2 × 4 × 4 =
16
3．
16.【详解】(1) 3因为 cos 3 sin = 0，由正弦定理得 sin cos
3
3 sin sin = 0，
因为 ∈ (0, π)，可得 sin > 0，所以 cos 33 sin = 0，
若 cos = 0，则 sin = 0，不合题意，故 cos ≠ 0，所以 tan = 3，
又因为 ∈ (0, π)，所以 = π3．
(2) 3 3 1 3 3因为 的面积为 2 ，可得2 sin = 2 ，可得 = 6，
又因为 = 3，所以 = 2，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
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可得 2 = 4 + 9 2 × 2 × 3 × 12 = 7，所以 = 7，
所以 的周长为 + + = 7 + 5．
17. 7π π 2π【详解】(1)观察函数 ( )的图象，得 = 2，最小正周期 = 8 ( 8 ) = ，解得 = 2，
π π
由 ( 8 ) = 2，得 2 8 + =
π
2 + 2 π, ∈ Z
π
，而| | < 2，则 = 0, =
π
4，
所以函数 ( )的解析式是 ( ) = 2sin(2 + π4 )．
(2)由(1) π知， ( ) = 2sin(2 + 4 )，
π+ 2 π ≤ 2 + π π由 2 4 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z，得
3π π
8 + π ≤ ≤ 8 + π, ∈ Z，
3π π
所以函数 ( )的单调递增区间为[ 8 + π, 8 + π]( ∈ Z)．
(3) ( ) = ( 5π 5π依题意， 24 ) + 1 = 2sin[2( 24 ) +
π
4 ] + 1 = 2sin(2
π
6 ) + 1，
∈ [0, 2π ] 2 π ∈ [ π , 7π当 3 时， 6 6 6 ]，则当 2
π π π
6 = 2，即 = 3时， ( )max = 3；
π π π 7π 2π
当 2 6 = 6或 2 6 = 6 ，即 = 0 或 = 3 时， ( )min = 0．
所以 ( )在区间[0, 2π3 ]上的最大值为 3，最小值为 0．
18.【详解】(1)因为底面 为正方形，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)取 的中点 ，连接 ， ，
因为点 , 分别为 , 的中点，
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所以 // ，且 = 12 = ，
因为 // ，所以 // ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
又因为 平面 ，平面 ∩平面 =
所以 // ．
(3)因为 ⊥平面 ， 、 平面 ，所以 ⊥ ，又 ⊥ ，
∠ 是二面角 的平面角，所以∠ = 30°，
设 = 2,则 = 1, = 3，连接 ， = 2 + 2 = 6，
因为 ⊥ ，平面 ⊥平面 ，
平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以∠ 即为 与底面 所成角，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = 1+ 6 = 7，
sin∠ = = 1 7所以在直角三角形 中， 7 = 7 ．
所以 7与底面 所成角的正弦值为 7 ．
19. 4 1【详解】(1)设点 到平面 的距离为 ，由四面体 的体积为3 , △ 的面积为 2 2，得3
= 1 43 2 2 = 3，解得 = 2，
而 // , 平面 , 平面 ，则 //平面 ，
所以点 到平面 的距离为 2．
(2)取 的中点 ，连接 ，由 = ，得 ⊥ ，由平面 ⊥平面 ，
平面 ∩平面 = , 平面 ，得 ⊥平面 ，即 = = 2，
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则 = = 2, = 2 2，由 ⊥平面 , 平面 ，得 ⊥ ，
又 ⊥平面 , 平面 ，则 ⊥ ，而 ∩ = , , 平面 ，
因此 ⊥平面 ，
(3)存在： = 3
由(2)知，又 , 平面 ，则 ⊥ , ⊥ ，
而 的面积为 2 2， = 2 2，则 = 2, = 4， = 2 3，
由 // ，得 ⊥ ，以 为原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,0,2)，设 = (0 ≤ ≤ 1)，
则 (2 2 , 2 2 , 2 ), = (0,2,0), = (2,0, 2), = (2,0,0)，
= (2 2 , 2 2 , 2 )，
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
= 2 2 = 0
则 1 1 ，取 1 = 1，得 = (1,0,1)， = 2 1 = 0
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 2 = 0
则 2 , = (2 2 ) 2 + (2 2 ) 2 + 2 2 = 0
取 2 = 2 ，得 = (0,2 , 2 2)，
cos , = 2 2 ，由平面 与平面 的夹角为60 ，
2 2 2 2 2 +1
1 1 1
得 = ，解得 = ，即 为 的中点，
2 2 2 2 +1 2 2
所以 = 3．
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