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2025-2026学年安徽省太和中学高二上学期 10月份月考模拟
数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (1, , 1)， = (1, 1,1)，若( + ) ⊥ ，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.已知 1 = ( 1,9,1), 2 = ( , 3,2), 3 = (0,2,1)，若 1, 2, 3 不能构成空间的一个基底，则 =( )
A. 3 B. 1 C. 5 D. 7
3.若图中的直线 1， 2， 3的斜率分别是 1， 2， 3，则有( )
A. 1 < 2 < 3
B. 3 < 1 < 2
C. 3 < 2 < 1
D. 2 < 3 < 1
4 ( ) ( ) ( ).已知函数 ( ) = 2 ，且 < < < 0，则 1， 1， 1的大小关系为( )
A. ( ) > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 > 1 B. 1 > 1 > 1
C. ( ) > ( ) > ( ) D. ( ) > ( ) > ( ) 1 1 1 1 1 1
5.下列命题：①若向量 , 满足 < 0，则向量 , 的夹角是钝角；②若 , , 是空间的一组基底，且
= 2 3 + 2 ，则 ， ， ， 四点共面；③若向量{ , , }是空间的一个基底，若向量 = + ，
则{ , , }也是空间的一个基底；④若直线 的方向向量为 = (1,0,3)，平面 的法向量为 = ( 2,0,2)，则
5
直线 与平面 所成角的余弦值为 5 ；⑤已知向量 = (9, 8, 5)，
= (2,1,1)，则向量 在向量 上的投影
向量是( 10 , 5 56 6 , 6 )；其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2 , = 6，则当 取得最大值时，
的面积为( )
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 6
7.在四面体 中， = = = 2， ⊥平面 ，∠ = 60 ，点 ， 分别为棱 ， 上的点，
且 = 3 ， = 3 ，则直线 与直线 夹角的余弦值为( )
A. 3 70 B. 2 70 70 7035 35 C. 35 D. 70
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8.在△ 中， 为 上一点且满足 = 2 ，∠ = 120 ， = 2，若 △ = 3 3，则△
的外接圆半径为( )
A. 2 3 B. 5 C. 1 D. 3 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A.复数 = 1 2i，则 在复平面内对应的点位于第一象限
B.若复数 2 21 = 2，则 1 = 2
C.若复数 1, 2满足 1 + 2 = 1 2 ，则 1 2 = 0
D.若复数 满足 1 ≤ | | ≤ 3，则复数 对应的点所构成的图形面积为 2π
10.下列说法正确的是( )
A. 8 5 3 7 11 61个数据的平均数为 ，另 个数据的平均数为 ，则这 个数据的平均数是11
B.若样本数据 1， 2，…， 10的平均数为 2，则数据 2 1 1，2 2 1，…，2 10 1 的平均数为 3
C.一组数据 4，3，2，6，5，8 的 60%分位数为 6
D.某班男生 30 人、女生 20 人，按照分层抽样的方法从该班共抽取 10 人答题．若男生答对题目的平均数
为 10，方差为 1；女生答对题目的平均数为 15，方差为 0.5，则这 10 人答对题目的方差为 6.8
11.如图，在直棱柱 π1 1 1 1中，底面 是边长为 2 的菱形，∠ = 3 , 1 = 2，点 为 1
的中点，点 为侧面 1 1内(包含边界)一动点，则下列结论正确的是( )
A.平面 1 截四棱柱 1 1 1 1所得的截面是五边形
B. ⊥ 1
C.平面 1
30
与平面 所成角的余弦值为 10
D.若 1 //平面 1 ，则点 轨迹的长度为 2 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.过 2 + 2, 2 3 , 3 2, 2 两点的直线 的倾斜角为45 ，求 的值为 ．
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13.如图所示，在平行六面体 1 1 1 1中，∠ 1 = ∠ =

3，∠ 1 = 2， = = 1 = 2，
则 1 = ．
14.两条异面直线 , 所成的角为 60°，在直线 , 上分别取点 1, 和点 , 使 1 ⊥ ，且 1 ⊥ (称 1为异
面直线 , 的公垂线).已知 1 = 2, = 3, = 5，则线段 1的长为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在空间直角坐标系 中，定义：过点 0, 0, 0 ，且方向向量为 = ( , , )( ≠ 0)的直线的点方向式
0 = 0 = 方程为 0 ；过点 0, 0, 0 ，且法向量为 = ( , , )
2 + 2 + 2 ≠ 0 的平面的点法向式
方程为 0 + 0 + 0 = 0，将其整理为一般式方程为 + + = 0，其中 =
0 + 0 + 0．
(1)求经过 ( 1,2,4), (2,0,1)的直线的点方向式方程；
(2)已知平面 1: 2 3 + 1 = 0，平面 1: + 2 + 4 = 0，平面 1: ( + 1) (2 + 3) + ( +
2) 5 = 0，若 1 ∩ 1 = , 1，证明： ；
(3)已知斜三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1所在平面 2经过三点 ( 4,0,0)， ( 3, 1,1), (1, 5,
2)，侧面 1 1所在平面 2的一般式方程为 + + 4 = 0，侧面 1 1所在平面 2的一般式方程为 2
+ (2 + 1) + 1 = 0，求平面 1 1与平面 1 1的夹角大小．
16.(本小题 15 分)
在四棱锥 中，已知 // ， ⊥ ， ⊥ ， = 2 = 2 = 2， = 6， = 2，
是 上的点．
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(1)求证： ⊥底面 ;
(2) 2 是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为3 若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由．
17.(本小题 15 分)
如图 1，矩形 中， = 2， = 1， 为边 上的一点．现将 沿着 折起，使点 到达点 的
位置．
(1)如图 2，若 为边 的中点，点 为线段 的中点，求证： //平面 ；
(2)如图 3，设点 在平面 内的射影 落在线段 上．
①求证： ⊥平面 ；
②当 = 14 时，求直线 与平面 所成的角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
在如图所示的六面体 中，矩形 ⊥平面 ， = = = 1， = 2， ⊥ ， // ．
(1)设 为 中点，证明： //平面 ；
(2)求二面角 大小的正弦值．
19.(本小题 17 分)
如图，四面体 中， 为等边三角形，且 = 2， 为等腰直角三角形，且∠ = 90 ．
(1)当 = 7时，
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( )求二面角 的正弦值；
( )当 为线段 中点时，求直线 与平面 所成角正弦值；
(2)当 = 2 时，若 = (0 < < 1)，且 ⊥平面 ， 为垂足， 中点为 ， 中点为 ；直线
与平面 的交点为 ，求三棱锥 体积最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.2
14. 6或 3 2
15.【详解】(1)由 ( 1,2,4), (2,0,1)得，直线 的方向向量为 = = (3, 2, 3)，
+1 2 4
故直线 的点方向式方程为 3 = 2 = 3．
(2)由平面 1: 2 3 + 1 = 0 可知，平面 1的法向量为 1 = (2, 3,1)，
由平面 1: + 2 + 4 = 0 可知，平面 1的法向量为 2 = (1,1, 2)，
= 2 3 + = 0
设交线 的方向向量为 = 0, 0, ，则 1 0 0 00 2 =
,
0 + 0 2 0 = 0
令 0 = 1，则 0 = 1, 0 = 1，可得 = (1,1,1)，
由平面 1: ( + 1) (2 + 3) + ( + 2) 5 = 0 可知，平面 1的法向量为 3 = ( + 1, 2 3, +
2)，
因为 3 = ( + 1) × 1 (2 + 3) × 1 + ( + 2) × 1 = 0，即 3 ⊥ ，
且 1，所以 ．
(3)因平面 2经过三点 ( 4,0,0), ( 3, 1,1), (1, 5, 2)，可得 = (1, 1,1), = (5, 5, 2)，
设侧面 1 1所在平面 2的法向量 1 = 1, 1, 1 ，
1 = 1 则 1 + 1 = 0 = 1 = 1, = 0 = (1,1,0)
，令 1 ，解得 1 1 ，可得 = 5 5 2 = 0 1
，
1 1 1 1
由平面 2: + + 4 = 0 可知，平面 2法向量为 2 = (0,1,1)，
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设平面 2与平面 2的交线的方向向量为 4 = 2, 2, 2 ，
4 1 = 2 + 2 = 0则 = + = 0，令 2 = 1，则 2 = 1, 2 = 1，可得 4 = (1, 1,1)，4 2 2 2
由平面 2: 2 + (2 + 1) + 1 = 0 可知，平面 2的法向量为 5 = (2, ,2 + 1)，
因为 4 5 = 2 + + 2 + 1 = 0，解得 = 1，即 5 = (2,1, 1)，
则 cos 1 5 3 31, 5 = 1 5
= 2× 6 = 2 ，
π
故平面 1 1与平面 1 1夹角的大小为6．
16.解：(1)证明：在 中， = = 1，∠ = 90 ，所以 = 2，
在 中， = 2， = 2，∠ = 45 ，
由余弦定理有： 2 = 2 + 2 2 cos45 = 2，
∴ = 2，∴ 2 = 2 + 2，所以∠ = 90 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
在 中， = 2， = 2， = 6，所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)以 为原点，以 ， ，所在直线为 ， 轴建立直角坐标系．
则有 (0,0,0)， (0,2,0)， (1,1,0)， (1,0,0)， (1,1,2)，
设 = = (1, 1,2) = ( , , 2 )，0 1，
则 = + = ( , 2 , 2 )，
= (1,1,0)， = (1,1,2)，
设 = ( , , )为平面 的法向量，
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= + 2 + 2 = 0
则

,
= + = 0
可取 = ( , , 1)，
设 与平面 所成角为 ，

则有 sin = |cos < > | =

，
| |·
= 2 2 = 2，
6 2+ 2+( 1)2 3
可得 3 2 + 2 1 = 0，所以 = 13 (舍负)．
∴存在点 使得 与平面 2 1所成角的正弦值为3，此时 = 3．
17.【详解】(1)证明：如图，取线段 的中点 ，连接 ， ，
因为点 是线段 的中点，所以 // ， = 12 ，
1
因为 // ， = 2 ，所以 // ， = ，
即四边形 是平行四边形，
所以 // ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)①由题意可知 ⊥平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，
又 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，故 ⊥平面 ．
②由于 ⊥平面 ，故∠ 为直线 与平面 所成的角，
= 1 = 1 2 2 34 2， = 1，故 = = 2 ，
= 32 , = 1, =
2 + 2 = 132 ，
13
则 = 2 + 2 = 2，故 cos∠ = 2 13 = 2 = 4 ，
13
故直线 与平面 所成的角的余弦值为 4 ．
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18.解：(1)证明：
如图所示，连接 ，取线段 的中点 ，分别连接 ， ，
因为 ， 分别为线段 ， 的中点，
则 是△ 的中位线，
所以 // 1， = 2 ，
1
由已知可得， // 且 = 2 ，
所以 // 且 = ，
故四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)解：因为四边形 是矩形，
则 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ，
所以 ， ， 两两垂直，
则以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
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所以 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， (1,0,1)， (0,2,0)， (0,0,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
因为 = (0, 1,1), = ( 1,1,0)，
= + = 0
所以

，
= + = 0
令 = 1，则 = 1， = 1，
故 = (1,1,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
因为 = (1,0,0), = (0,2, 1)，
所以 = = 0 ，
= 2 = 0
令 = 1，则 = 0， = 2，
故 = (0,1,2)，
则|cos < , > | = | | 3 15| ， || | = 1+1+1× 1+4 = 5
因为二面角的范围是 0, ，所以二面角的正弦值为非负数，
故二面角 大小的正弦值为 1 ( 15 25 ) =
10．
5
19.【详解】(1)( )取 的中点 ，连接 , ，
因为 为等腰直角三角形，且∠ = 90 ，
所以 = = 2，则 ⊥ ，所以 = 1，
又因为 = = 2,所以 ⊥ ，
则 = 2 2 = 3， = 7，
又因为 ⊥ ，所以∠ 为二面角 的平面角，
2 2 2
cos∠ = + 1+3 7 32 = 2 1 3 = 2 ，
1 1
所以 sin∠ = 2，所以二面角 的正弦值为2；
( )过点 作 轴垂直平面 ，又因为 ⊥ ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
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所以 (1,0,0), ( 1,0,0), 0, 32 ,
1 3 1
2 , 0, 3, 0 , 0, 4 , 4 ，
= 1, 3 , 1 ， 2 2 = ( 2,0,0),
= 1, 34 ,
1
4 ，
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
= 2 2 = 0
则 ,
= 3 12 + 4 2 + 4 2 = 0
3 1取 2 = 1，可得 2 = 0, 2 = 3，所以 = 0,1, 3 ， = 1, 2 , 2 ，
设直线 与平面 所成角为 ，

所以 sin = cos , = 3 = 2×2 =
6
，
4
直线 与平面 6所成角正弦值为 4 ；
(2)取 的中点 ，连接 , ，
因为 为等腰直角三角形，且∠ = 90 ，
所以 = = 2，则 ⊥ ，
所以 = 1，又因为 = = 2,所以 ⊥ ，
则 = 2 2 = 3， = 2，
又因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，又因为 ⊥ ，
∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 , , 两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 (1,0,0), ( 1,0,0), (0,0,1), 0, 3, 0 ，
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设 1, 1, 1 ，因为 = 1, 1, 1 1 , = 0, 3, 1 ，
所以由 = (0 < < 1)可得： 1 = 0, 1 = 3 , 1 = + 1，
所以 0, 3 , + 1 ， = ( 1,0,1), = ( 2,0,0), = 1, 3 , + 1 ，
由上知， ⊥平面 ，又 ⊥平面 ,所以 // ， 在 上，
因为 = (0 < < 1)，所以 = = 2 ， = 2 2 ，

所以 = =

，
= 2 2 即 1 2 = 3，所以 = 1 , = 3(1 )，
所以 = = 3 3(1 ) = 3 ，
三棱锥 体积为：
1 1 1 1
= 3 = 3 × 2 = 3
2
= 13 3 (1 ) =
3 3 2 3 1 3
3 3 = 3 2 + 12，
因为 0 < < 1，当 = 1 32时，三棱锥 体积最大为12．
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