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2025-2026学年山东省日照市高二上学期 9月校际联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ( 1,1)， = [0,2]，则 ∪ =( )
A. ( 1,2] B. ( 1,2) C. [0,1) D. [0,2]
2.已知向量 = (1,2), = ( , 1).若 ⊥ ，则实数 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 12 2 D. 2
3.“ > ”是“ > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为 cm2，体积为 cm3，若 = ，则底面半径为( )
A. 2 3cm B. 3 C. 3cm D. 1
5 7.若定义在 上的偶函数 ( )满足 (2 ) = ( )，且当 1 ≤ ≤ 2 时， ( ) = 1，则 2 的值等于( )
A. 52 B.
3 C. 1 D. 12 2 2
6 π 1 π.若 sin( 3 ) = 4，则 cos( 3 + 2 ) =( )
A. 7 B. 78 8 C.
1
4 D.
1
4
7 ∈ 0, 3π = cos = 2cos 4 + π.当 2 时，曲线 与 4 的交点个数为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
8.在 中， = 7, = 4, = 2 , = 19，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零实数 , ，满足 > ，则( )
A. + 2 > + 2 B. | | > C. 2| | > 2| | D. 1 >
1

10.设 , 为两个事件，且 ( ) = 0.5, ( ) = 0.3，下列说法正确的有( )
A.若 , 互斥，则 ( ) = 0.15 B.若 , 互斥，则 ( ∪ ) = 0.8
C.若 , 独立，则 ( ) = 0.15 D.若 , 独立，则 ( ∪ ) = 0.65
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11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 为 1 上一动点， 为棱 的中点，则( )
A.四面体 1 的体积为定值
B.存在点 ，使 ⊥平面 1
C. 5二面角 1 的正切值为 5
D.当 为 1 的中点时，四面体 的外接球表面积为 5π
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若幂函数 ( ) 1的图象经过点 2, 4 ，则 (3) = ．
13 π π.将函数 = 3sin(2 + 4 )的图象向右平移6个单位长度，则平移后的图象中与 轴最近的对称轴的方程
是 ．
14 2 5.已知锐角 的面积为 8, sin = 5 ,
= 4 ，点 , 分别在 , 上，且对任意 , ∈ R,
≥ , ≥ 恒成立，则 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为 100 分，所有参赛学生的成绩都不低于 50 分．现
从中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照 50,60), 60,70), , [90,100]分成 5 组，制成了如图所示的频率分布
直方图．
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(1)求频率分布直方图中 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组
区间的中点值代表)；
(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求
恰有 1 人成绩在[80,90)的概率．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3sin( + ) > 0, π π2 < < 2 的部分图象如图所示． 为图象的最高点， , 为图
象与 轴的交点，点 43 , 0 ，且 为正三角形．
(1)求函数 ( )的解析式及其单调递增区间；
(2)当 ∈ [0,2]时，求函数 ( )的最值．
17.(本小题 15 分)
函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是 ( ) + (2 ) = 2 .已知函数 ( ) =
2
2 1+1．
(1)判断函数 ( )的单调性，并利用定义证明；
(2)求证：函数 = ( )的图象关于点(1,1)中心对称；
(3)若对 , ∈ R，且 + > 2，恒有 + 21 2 1 2 1 2 + > 0 成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且满足 2 cos = ．
(1)求证： = 2 ；
(2)若 cos = 34 , + 4 = 2 ，求 ；
(3) 3 + 求 cos 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，在正四棱锥 中，所有棱长均为 .点 是棱 的中点，点 是底面 内任意一点，点 到
侧面 , , , 的距离分别为 1, 2, 3, 4．
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(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求 1 + 2 + 3 + 4的值；
(3)记直线 与侧面 , , , 所成的角分别为 , , , ，求证：cos2 + cos2 + cos2 + cos2 为
定值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.19
13. = 5 524/ 24
14. 65
15.【详解】(1)由已知可得(0.01 × 2 + 0.03 × 2 + ) × 10 = 1，解得 = 0.02，
所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 55 × 0.1 + 65 × 0.3 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.1 = 74(分)，
由于前两组的频率之和为 0.1 + 0.3 = 0.4，前三组的频率之和为 0.1 + 0.3 × 2 = 0.7，
220
所以，中位数 ∈ (70,80)，由题意可得 0.4 + ( 70) × 0.03 = 0.5，解得 = 3 (分)．
(2)由(1)可知，后三组中的人数分别为 15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为 3,2,1，
记成绩在[70,80)这组的 3 名学生分别为 , , ，成绩在[80,90)这组的 2 名学生分别为 , ，成绩在(90,100]
这组的 1 名学生为 ，
则从中任抽取 2 人的所有可能结果为( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、
( , )、( , )、( , )、( , )、( , )，共 15 种.
其中恰有 1 人成绩在[80,90)为( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )共 8 种.
故所求概率为 = 815．
16.(1) ∵ 为图象的最高点，∴点 的纵坐标 = 2 3，即 的高为 2 3，
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∵△ 2 3为正三角形，∴ = 2 × tanπ = 4，3
又∵ | | = 2 =
π
= 4，∴ =
π
4．
∵ 4 4 π 43 , 0 ，∴ 3 = 2 3sin 4 × 3 + = 0，
则 π3 = π, ∈ Z
π
，即 = 3 + π, ∈ Z，
∵ π2 < <
π π
2，∴ = 3．
∴ ( ) = 2 3sin π + π4 3 ．
π π π π
令 2 + 2 π < 4 + 3 < 2 + 2 π, ∈ Z，
解得 103 + 8 < <
2
3 + 8 , ∈ Z，
∴函数 ( ) 10 2的单调递增区间为 3 + 8 , 3 + 8 , ∈ Z．
(2)当 ∈ [0,2] π π时，4 + 3 ∈
π
3 ,
5π
6 ，
∴ π + π = π当4 3 2，即 =
2
3时， ( )取得最大值 ( )max = 2 3；
π π 5π 1
当4 + 3 = 6，即 = 2 时， ( )取得最小值 ( )min = 2 3 × 2 = 3．
综上，函数 ( )的最大值 ( )max = 2 3，最小值 ( )min = 3．

17.(1)函数 ( ) = 22 1+1在定义域 内单调递增，证明如下：

( ) = 2 22 1+1 = 2 1 2 +2 ，任取 1, 2 ∈ R，令 1 < 2，
则2 1 + 2 > 0，2 2 + 2 > 0，2 1 2 2 < 0，
2 2 4 2 1 2 2
故 1 2 = 2 1 2 1+2 2 1 2 2+2 = 2 1+2 2 2+2 < 0，
即 1 < 2 ，所以 ( )在定义域 内单调递增．
(2)证明：因为 ( )的定义域为 ，

( ) = 2 1 2 2 22 +2 ， (2 ) = 2 1 22 +2 = 2 1 2 +2 ，

有 ( ) + (2 ) = 2 1 22 +2 + 1
2
2 +2 = 2，
所以 ( )的图象关于点(1,1)对称．
(3)因为 1 + 2 > 2，即 1 > 2 2，
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由(1)可知： ( )在定义域 内单调递增，则 1 > 2 2 ，
由(2)可知： ( ) + (2 ) = 2，即 (2 ) = 2 ( )，
可得 1 > 2 2 = 2 2 ，即 1 + 2 > 2，
由 1 + 2 2 + > 0 1 + 2 > 2 ，得 2 + ≤ 2，
即 2 2 ≤ 0，解得 1 ≤ ≤ 2，
所以实数 的取值范围为[ 1,2]．
18.(1)因为 2 cos = ，根据正弦定理得：sin 2sin cos = sin ．
又因为 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
所以 sin cos cos sin = sin sin( ) = sin ．
又 , 为三角形内角，所以 = = 2 ．
(2)因为 = 2 3，cos = 4，
所以 sin = 1 cos2 = 74 ，sin = sin2 = 2sin cos =
3 7
8 ，
2
cos = cos2 = 2cos2 1 = 2 × 3 1 = 14 8．
所以 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 3 7 × 3 + 1 7 5 78 4 8 × 4 = 16 ．
3 7
sin
由正弦定理得 8 = sin = 5 7 =
6
5，
16
又 + 4 = 2 ，所以 = 6， = 5．
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 36 + 25 2 × 6 × 5 × 34 = 16．
所以 = 4．
(3)因为 sin = sin( + ) = sin3
= sin cos2 + cos sin2 = sin 1 2sin2 + cos 2sin cos
= sin 1 2sin2 + 2sin 1 sin2 = 3sin 4sin3 ．
3 + = 3sin +sin 6sin 4sin
3 6 4sin2
由正弦定理 cos sin cos = sin cos = cos
6 4 1 cos2 2+ 4cos2 1
= cos = cos = 2 × 2cos + cos
因为 0 < < π2，所以 cos > 0，
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1
所以 2 × 2cos + cos ≥ 2 × 2
2cos 1 π
cos = 4 2，当且仅当 2cos = cos 即 = 4时取等号．
3 +
所以 cos 的最小值为 4 2．
19.(1)因为在正四棱锥 中，所有棱长均为 ，点 是棱 的中点，所以 ⊥ , ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 ；
(2)设 ∩ = ，连接 ，则平面 ⊥ 平面 ，
设点 到平面 的距离为 ，
因为在正四棱锥 1 3中，所有棱长均为 ，所以四个侧面的正三角形的面积均为2
2 × sin60 = 4
2，
2 2
底面正方形的面积为 2，又 = 2 ( 2 )
2 = 2 ，
依题意可得，所以 = + + + ,
1 1 1
所以 23 = 3 1 + 3 +
1 1 2 2 3 2
2 3 3 + 3 4，即 × 2 = 4 ( 1 + 2 + 3 + 4)，解得
2 61 + 2 + 3 + 4 = 3 ；
(3)设平面 与 的交线为 ， ∈ , ′ ∈ ，
过点 作平面 ′ 使得 ′ ⊥ 平面 ′ ，(即过点 作 // 交 于点 、交 于点 ，再在平面
内作 ′ ⊥ ，连接则 ⊥ ，又 ∩ ′ = , , ′ 平面 ′ ，所以 ⊥ 平面 ′ ，
又 // , 平面 , 平面 ,所以 //平面 ，
又平面 与 的交线为 ′， 平面 ，所以 // ′，所以 ′ ⊥ 平面 ′ )，
设 = , ′ = 2 ( 12 )
2 = 3 ′ 22 , = = 2 , = ，
所以 ′ ′1 = ,
3 = ( ) 2 = 2 ( 即 2 1 2 2 ，所以 1 3 2 )，
2 4 2
同理可得 2 2 23 = 3 ( 2 + )，所以 1 + 3 = 3 ( 4 + )，
设 = ，同上方法可得 2 2 4
2
2 + 4 = 3 ( 4 +
2)，
2
所以 2 2 2 21 + 2 + 3 + 4 =
4
3 (

2 +
2 + 2)，
2 = 2 + 2 =
2
而 2 2 2 2 2 2
4 2
2 + + ，所以 1 + 2 + 3 + 4 = 3 ，
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又 与侧面 , , , 所成的角分别为 , , , ，则

sin = 1 , sin =
2
, sin =
3
, sin =
4
,
2 2 2 2
而sin2 + sin2 + sin2 + sin2 = 1+ 2+ 3+ 4 4 2 = 3，
所以cos2 + cos2 + cos2 + cos2 = 4 (sin2 + sin2 + sin2 + sin2 ) = 4 43 =
8
3．
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