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2025-2026学年山东省烟台第二中学高二上学期开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 经过 ( 1,2)， ( 1,3)两点，则 的倾斜角为( )
A. π B. π6 4 C.
π π
3 D. 2
2.经过点 (0, 1)作直线 ，若直线 与连接 (1, 2)， (2,1)两点的线段总有公共点，求直线 的斜率 的取
值范围是( )
A. [ 1,1] B. ( 1,1)
C. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞) D. [1, + ∞)
3.已知 1, 2分别为直线 1, 2的方向向量( 1, 2不重合)， 1, 2分别为平面 , 的法向量( , 不重合)，则下列
说法中正确的是( )
A. 1// 2 1 ⊥ 2 B. 1 ⊥ 1 1 ⊥ C. 1// 1 1// D. 1 ⊥ 2 ⊥
4.在空间直角坐标系中，向量 = (2, 1, )， = ( 4,2,4)，下列结论正确的是( )
→ →
A.若 // ，则 = 2 B.若 = 6，则 = 5
→ →
C.若< , > 5 1为钝角，则 < 2 D.若 在 上的投影向量为

6
，则 = 4
5.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1的中点， 为线段 1的中点.直线 1到平
面 1 的距离为( )
A. 5 30 2 13 B. 5 C. 3 D. 3
6.已知直线 1: + 2 = 0 与直线 2: + ( + 1) + 4 = 0，则“ = 1”是“ 1// 2”( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.如图，在三棱柱 1 1 1中， , 分别是 1 ， 1 1上的点，且 = 2 1 ， 1 = 2 1 .设 = ，
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= ， 1 = ，若∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°， = = 1 = 1，则下列结论中正确的是
A. = 1 + 1 + 2 B. = 23 3 3 3
C. 1 ⊥ 1 D. cos , =
1
1 1 6
8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的
鳖臑 中， ⊥平面 ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 2， 是
的中点， 是△ 内的动点(含边界)，且 //平面 ，则 的取值范围
是( )
A. [0,3] B. [ 1 , 3] C. [ 1 , 11 ] D. [3, 112 2 2 2 ]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 : 2 3 + 3 + 3 = 0 3 的倾斜角为 4，则( )
A. = 3
B.直线 在两坐标轴上的截距相等
C. ,2 3 为直线 的一个方向向量
D.直线 关于 轴对称的直线 ′的方程为 + 2 = 0
10.下列命题中正确的是( )
A.若 , , , 是空间任意四点，则有 + + + = 0
B.若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 130°，则直线 与平面 所成的角等于 50°
C.已知 , , 是空间的一个基底，则 + , + , + + 也是空间的一个基底
D.已知 为坐标原点，向量 = + 2 ， = 3 + 6 3 ， = 2 + 4 2 ，则点 , , 不能
构成三角形
11.(多选)已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，动点 满足 = + + 1，其中 , , ∈ [0,1]，
则下列说法正确的是( )
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A.若 = ， = 0，则 1 ⊥平面 1
B. π π若 = ，则 1 与 1 1所成角的取值范围为 6 , 2
C. = = = 1 π若 2，则二面角 的平面角为4
D.若 + + = 12，则三棱锥 1的体积为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 1: 1 + 2 + 2 = 0 与直线 2: + + 3 = 0 垂直，则 = ．
13.一条光线经过点 (2,3)射到直线 + + 1 = 0 上，被反射后经过点 (1,1)，则入射光线所在直线的方程
为 ．
14.在直三棱柱 π1 1 1中，∠ = 2， = 2， = 1， 1 = 2，点 是棱 的中点，点 在棱 1
上运动，则点 到直线 1 的距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共 3小题，共 47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知 的顶点 (5,1)，边 上的中线 所在直线的方程为 2 5 = 0，边 上的高 所在直线的
方程为 2 5 = 0.求：
(1)顶点 的坐标；
(2)直线 的方程．
16.(本小题 15 分)

如图 1，在 中，∠ = 90 ， 、 两点分别在 、 上，使 = = = = 2.现将 沿
折起得到四棱锥 ，在图 2 中 = 29．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
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17.(本小题 17 分)
如图，在多面体 中， ⊥平面 ，四边形 为平行四边形， // ， ⊥ ， = =
= 12 = 2， 为 的中点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3) 42 在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 14 ？若存在，求 的值；若
不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 或 1
13.5 4 + 2 = 0
14.3 5/35 5 5
15.(1) 1由题意得直线 的斜率为2，所以直线 的斜率为 2．
又因为 (5,1)，所以直线 的方程为 1 = 2( 5)，即 2 + 11 = 0，
因为直线 的方程为 2 5 = 0，
2 + 11 = 0, = 4,
由 2 5 = 0,，解得 = 3,，所以点 的坐标是(4,3)．
(2)由题意， 是线段 的中点，且在直线 2 5 = 0 上，
设 0, 2 0 5 ，又 (5,1)，则 2 0 5,4 0 11 ．
由题意，点 在直线 : 2 5 = 0 上，则 2 0 5 2 4 0 11 5 = 0．
解得 0 = 2，则 ( 1, 3)．
由(1)得 (4,3)，所以直线 3 3 6的斜率为 1 4 = 5，
6
所以直线 的方程为 3 = 5 ( 4)，即 6 5 9 = 0．
16. 解：(1)在图 1 的 中， = = = = 2，
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所以， // 3，且 = 4， = 2 = 3，
因为∠ = 90 ，所以，∠ = 90 ，则 ⊥ ， ⊥ ，
在 中，∠ = 90 ， = 2， = 3，则 = 2 + 2 = 13，
在图 2 的 中， = 4， = 13， = 29，
满足 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， ⊥ ，
以点 为原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,4)、 (2,3,0)、 (0,0,0), (0,2,0)， = (2,3, 4)， = (0,2, 4)，
= 2 1 + 3 1 4 1 = 0设平面 一个的法向量 = 1, 1, 1 ，则 , = 2 1 4 1 = 0
取 1 = 1，可得 = ( 1,2,1)，
设平面 的一个法向量为 = 2, 2, 2 ， = (0,0,4)， = (2,3,0)，
= 4
则 2
= 0
，取 2 = 3，则 = (3, 2,0)， = 2 2 + 3 2 = 0
设平面 与平面 所成角为 ，
则 cos = cos , = =
7 7 78
6× 13 = 78 ，
7 78
因此，平面 与平面 所成角的余弦值为 78 ．
17.解：(1)证明：因为 ⊥平面 ， , 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ⊥ ，所以 ， ， 两两垂直，
以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 (2,0,0)， (2,2,0)， (0,0,2)， ( 2,0,2)， (0,4,0)， ( 1,2,1)， = ( 2, 2,2), = ( 2,2,0)，
所以 = 0，所以 ⊥ ．
(2)设平面 的一个法向量 2 = 2, 2, 2 ，
因为 = ( 2, 2,2)， = (2,0,0)，

所以 2
= 0 2 2 2 ，即 2 + 2 2 = 0 ,
2 = 0 2 2 = 0
令 2 = 1，则 2 = 0， 2 = 1，所以 2 = (0,1,1)，
又因为 = (2,2,0)，设直线 与平面 所成角 ，

sin = | 2| 2 1则
|
=
| | 2| 2 2× 2
= 2．
(3)假设存在，设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = ( 2,2,0) = ( 2 , 2 , 0)，
所以 = + = (2 2 , 2 + 2 , 0)，
设平面 的一个法向量 1 = 1, 1, 1 ，因为 = ( 1,2,1)，
1 = 0 1 + 2 1 + 1 = 0所以 ，即 1 = 0 2 2 1 + 2 + 2
,
1 = 0
令 1 = 1 + ，则 1 = 1， 1 = 3 ，
所以 1 = (1 + , 1,3 )，
由(2)问可知：平面 的一个法向量为 2 = (0,1,1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 cos = cos 1, =
1 2 2
2 = =
42
，
1 2 3 2 6 +11× 2 14
= 1解得 3或 =
5
3 (舍)，
1 1
所以存在点 ，使得满足要求，此时 = 3 ，即 = 3．
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