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2024-2025 学年四川省达州市第一中学高二上学期入学考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | 2 < < 2}，则 ∩ =( )
A. 0,1,2 B. 2, 1,0 C. 1,0,1 D.
2.设 = 4(1 i)2，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.设向量 = 3,4 , = 1, 1 ，则 在 方向上的投影向量为( )
A. 2, 2 B. 2,2 C. 1 12 , 2 D.
1 , 12 2
4.已知某地最近 10 天每天的最高气温(单位：℃)分别为 23,18,17,21,22,20,16,14,21,19，则 10 天最高气温
的第 80 百分位数是( )
A. 15 B. 21 C. 21.5 D. 22
5 1.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，cos = 2， sin = sin ，则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6.已知平面向量 ， 满足 + = 3，且 = 2， = 1，则向量 与 夹角的正弦值为( )
A. 12 B.
3 C. 12 2 D.
3
2
7.已知正四棱台的上底边长为 2，下底边长为 4，侧棱与底面所成的角为60 ，则此四棱台的体积为( )
A. 28 63 B. 28 6 C.
28 3
3 D. 28 3
8.三棱锥 中， ⊥平面 ，∠ = 60°， = 1， = 2， = 4，则三棱锥 外接球
的表面积为( )
A. 10π B. 20π C. 25π D. 30π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)班长统计了去年 1 8 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，并绘制了如下
的折线统计图，下列说法正确的是( )
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A.阅读数量最大的是 8 月份 B.阅读数量最小的是 1 月份
C.阅读数量最大的月份比最小的月份多 55 本D.每月阅读数量超过 40 的有 4 个月
10.已知三条不重合的直线 、 、 ，两个不重合的平面 、 ，下列四个命题中正确的是( )
A.若 ⊥ ， ∩ = ， ，则 ⊥
B.若 ⊥ ， ⊥ ，且 // ，则 //
C.若 ， ， // ， // ，则 //
D.若 // ， ，则 //
11 π.函数 ( ) = cos( + )( > 0, > 0, 2 < < 0)的部分图象如图所示，下列正确的是( )
A. = 2 = π， 3
B.函数 ( ) π的图象关于直线 = 3对称
C. 若 2 = 1，则
π
6 = 1
D.函数 ( )的最小正周期为π，函数 ( ) = π12 是奇函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若水平放置的四边形 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形 ′ ′ ′ ′为等腰梯形，
′ /\ !/ ′ ′ , ′ ′ = 4, ′ ′ = 8，则原四边形 的面积为 ．
13.已知事件 和 互斥，且 ∪ = 0.8， = 0.6，则 = ．
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14.如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 、 的俯角分别为 67°、30°，此时气球的高是 46 ，河流的
宽度 约等于 . (参考数据：sin67 ≈ 0.92，cos67 ≈ 0.39，sin37 ≈ 0.60，cos37 ≈ 0.80， 3 ≈ 1.73)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知向量 = ( 5,7), = ( 1,3), = ( 2,2)．
(1)若 = + ，求实数 , 的值；
(2)若(2 + ) ⊥ ( + )，求实数 的值．
16. 的内角 , , 对边分别为 , , ，且 3 + sin 3 cos = 0．
(1)求角 的大小：
(2)若 = 7，且 + = 8，求 的面积．
17.《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所
谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥 为阳马， ⊥底面
, = 2， = = 1, , 分别为 , 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥平面 ；
18.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更
是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本(满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段：[40,50)，
[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
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(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)若从成绩位于区间[80,90)和[90,100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取 7 份，再从这 7 份中随机抽取
两份，求这两份答卷的成绩都落在[80,90)的概率；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是 61，方差是 7，落在[60,70)的平均成绩为 70，方差是 4，求两组成绩的
总平均数 和总方差 2. (注：612 = 3721, 672 = 4489, 702 = 4900)
19.已知函数 ( ) = 2cos 3sin + cos 1．
(1)求 ( )最小正周期；
(2)将函数 = ( ) 1 π的图象的横坐标缩小为原来的2，再将得到的函数图象向右平移8个单位，最后得到函数
= ( )，求函数 ( )的对称中心；
(3)若 ( ) ≤ 2 0, π在 4 上恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.24 2
13.0.4
14.60
15.【详解】(1)因为 = ( 5,7), = ( 1,3), = ( 2,2)， = + ，
所以( 5,7) = ( 1,3) + ( 2,2) = ( 2 , 3 + 2 )，
2 = 5 = 1
所以 3 + 2 = 7，解得 = 2 ,
所以 = 1, = 2
(2)因为(2 + ) ⊥ ( + )，则(2 + ) ( + ) = 0，
又 2 + = ( 10,14) + ( 2 , 2 ) = ( 10 2 , 14 + 2 )， + = ( 3,5)，
25
所以 3( 10 2 ) + 5(14 + 2 ) = 0，解得 = 4，
25故实数 的值为 4．
16.解：(1)因为 3 + sin 3 cos = 0，根据正弦定理边角互化，以及恒等变换可得
3sin + sin sin 3sin cos = 3sin + sin sin 3sin cos
= 3sin ( + ) + sin sin 3sin cos
= 3sin cos + 3sin cos + sin sin 3sin cos = 3sin cos + sin sin = 0．
因为 为 内角，所以 sin ≠ 0，
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则可得 tan = 3，又因 0 < < ，
= 2 所以 3．
2 2 2
(2) + 根据余弦定理可知 2 = cos ，
则可得 2 + 2 2 = ，
又因 = 7，且 + = 8，
可得 + 2 2 = 2 + 2 + 2 2 = 82 72，
可得 = 15，
1 15 3则 △ = 2 sin = 4 ．
17.【详解】(1)取 的中点 ，连接 ，
由 分别为 的中点，
所以 // 1且 = 2 ，
又因为 // 且 = 12 ，所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
因为 平面 , 平面 ，所以 //平面
(2)因为 = ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥底面 ， 底面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ , , 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 // ， ⊥ ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
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18.【详解】(1)由题意 10(0.005 + 0.010 × 2 + 0.020 + 0.025 + ) = 1，解得： = 0.030．
(2)由题可知，成绩在区间[80,90)的频数为：100 × 0.025 × 10 = 25；
成绩在区间[90,100]的频数为：100 × 0.010 × 10 = 10．
7
利用分层抽样，从中抽取 7 份，成绩在[80,90)的频数为 25 × 25+10 = 5，成绩在[90,100]的频数为 10 ×
7
25+10 = 2．
2
再从这 7
C 10
份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在[80,90)的概率为： 5 =
C27 21
．
(3)因为落在[50,60)与[60,70)的频率之比为 0.01: 0.02 = 1: 2；
所以 = 61 × 1 23 + 70 × 3 = 67，
2 = 7 + (61 67)2 × 13 + 4 + (70 67)
2 × 23 = 23．
19.【详解】(1)因为 ( ) = 2cos 3sin + cos 1
= 2 3sin cos + 2cos2 1
1+ cos2
= 3sin2 + 2 2 1
= 3sin2 + cos2 = 2 32 sin2 +
1
2 cos2 = 2sin 2 +
π
6 ，
2π
所以函数 = ( )的最小正周期为 = 2 = π．
(2)将函数 = ( ) 1的图象的横坐标缩小为原来的2，
可得到函数 = 2sin 4 + π6 的图象，
再将 = 2sin 4 + π π6 的函数图象向右平移8个单位，最后得到函数 = ( )的图象，
则 ( ) = 2sin 4 π π8 + 6 = 2sin 4
π
3 ，
4 π = π π π令 3 ，得 = 4 + 12 ( ∈ Z)，
π π
所以对称中心为( 4 + 12 , 0)，( ∈ Z)．
(3)当 0 ≤ ≤ π π π 2π4时， 3 ≤ 4 3 ≤ 3 ，
3 π
则 2 ≤ sin 4 3 ≤ 1，
所以 3 ≤ ( ) ≤ 2，
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π
所以 ( )在区间 0, 4 上的值域为 3, 2 ．
由 ( ) ≤ 2，得 2 ≤ ( ) ≤ + 2，
由 ( ) ≤ 2 在 0, π4 上恒成立，
得 2 ≤ 3，解得 0 ≤ ≤ 2 3，
+ 2 ≥ 2
∴实数 的取值范围为 0,2 3 ．
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