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2025-2026学年河南省开封市等两地高二上学期开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应的点是，则( )
A. B. C. D.
2.“关于的方程：表示圆”是“”的 条件
A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要
3.已知向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知复数满足：，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知事件和事件独立，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
7.如图，的外接圆圆心为，，，则( )
A. B. C. D.
8.体积为的三棱柱，所有顶点都在球的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是则球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小胡同学参加射击比赛，打了发子弹，报靶数据如下：，，，，，，，单位：环，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的众数为 B. 这组数据的分位数是
C. 这组数据的极差是 D. 这组数据的标准差是
10.有下列说法，其中错误的说法为．
A. 、为实数，若，则与共线
B. 若、，则
C. 两个非零向量、，若，则与垂直
D. 若，、分别表示、的面积，则
11.已知正方体的棱长为，是的中点，则下列选项中正确的是( )
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线若，则实数的值为 ．
13.已知某运动员每次投篮命中的概率是现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下组随机数：
，
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ．
14.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的值；
若，求实数的值；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，且满足．
Ⅰ求角；
Ⅱ若的面积为，，求边．
17.本小题分
在三棱锥中，平面平面，是边长为的正三角形，，．
证明：
求二面角的余弦值．
18.本小题分
江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值，并估计本次竞赛成绩的第百分位数
若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，求至少有人的成绩在内的概率．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致已知在仿射坐标系下，．
当时，求；
当时，求；
如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为向量，且，
所以，解得，
所以．
因为，且，
所以，解得．
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且．

16.解：Ⅰ由得：
又
，即又，
Ⅱ的面积为，
又，
，即

17.解：证明：依题意，，，，所以，
所以，
因为平面平面，且平面平面，
而平面，所以平面，
又平面，所以
如图，
取中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，且平面平面，而平面，所以平面，
又平面，所以，
过作，垂足为，连接，所以平面，
所以，
所以是二面角的平面角，
在中，，，，所以，，
又，，
，所以二面角的余弦值为．

18.解：由题意得，，
解得，
成绩在分以下的频率为，
成绩在分以下的频率为，
设本次竞赛成绩的第百分位数为，估计，
由于
故．
因为，的频率之比为，
所以从中随机抽取人，从中随机抽取人，
从中抽取的人记为，，，从中抽取的人记为，，
从这人中随机抽取人的样本空间为：
，
共有个样本点，
设事件“至少有人的成绩在内”，
则共有个样本点，
所以至少有人在内的概率为．
19.解：当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系，
．
，即．
当时，，又，，
，
，
．
依题意，，，．
，，
，，
，
又由知，当时，，．

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