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2025-2026学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期 9月教学质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+ .已知复数 在复平面内对应的点是 0,1 ，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + D. 1
2.已知向量 = ( 2,2 3)， = (1, 3)，则 在 方向上的投影向量为( )
A. 14 B.
1
4 C. D.
3.一个正四棱锥的高是 2，底面边长也为 2，则正四棱锥的侧面积是( )
A. 4 3 B. 8 3 C. 4 5 D. 8 5
4.已知一组数据为 8、4、7、6、5、3、9、10，则这组数据的 25％分位数是( )
A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5
5.已知 ， 表示两个不同的平面， ， ， 表示三条不同的直线，下列说法正确的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 ， ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ， ， // ， // ，则 // D.若 ⊥ ， // ， ，则 ⊥
6.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的 200 名学生进行调查．为了得到
该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第
一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问
题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答
“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为 57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为( )
A. 0.035 B. 0.15 C. 0.105 D. 0.07
7.已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 + 的最小值是( )
A. 32 B.
4 3
3 C. 1 D. 4
8.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，已知 ， 分别为线段 1， 1上的动点， 为 1
的中点，则 的周长的最小值为( )
A. 1 + 2 4+2 22 B. 2
C. 1 + 3 4+ 32 D. 2
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = (3, 1), = (2,1)，则下列结论正确的是( )
A. 2 ⊥ B. π与 的夹角为4
C. + 2 = 5 10 D. 在 方向上的投影向量的模是 5
10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为 1、2、3、4 的 4 个神秘书签，书签除编号外完全
相同．小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号( )
A. 1第一张书签编号比第二张大的概率是2
B. 1“两书签编号之和为 6”的概率是12
C.“抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为 5”相互独立
D. 2“抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为 5”的概率为3
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 为 1 上一动点， 为棱 的中点，则( )
A.四面体 1 的体积为定值
B.存在点 ，使 ⊥平面 1
C.二面角 的正切值为 51 5
D.当 为 1 的中点时，四面体 的外接球表面积为 5π
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若 1 + ( 为虚数单位)是关于 的实系数一元二次方程 2 + + 2 = 0 的一个虚根，则实数 =
13.一平面图形的直观图是边长为 1cm 的正方形，则原图形的周长是 cm．
14.在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 2 ，若 sin( + ) = 2 2，则 tan +
1
3tan( )的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为 100 分，所有参赛学生的成绩都不低于 50 分．现
从中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照 50,60), 60,70), , [90,100]分成 5 组，制成了如图所示的频率分布
直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组
区间的中点值代表)；
(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求
恰有 1 人成绩在[80,90)的概率．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,2)， = (1, ) ∈ R ．
(1)若 + ⊥ 5 8 ，求 的值；
(2)若 = 1， 与 + 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 tan + tan = 3 cos
(1)求 ；
(2)
2+ 2
求 2 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某次答辩活动有 4 道题目，第 1 题 1 分，第 2 题 2 分，第 3 题 3 分，第 4 题 4 分，每道题目答对给满分，
1 1 1 1
答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第 1,2,3,4 题的概率分别为2，3，4，5，且每道题目
能否答对都是相互独立的．
(1)求甲得 10 分的概率；
(2)求甲得 3 分的概率；
(3)若参加者的答辩分数大于 6 分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19.(本小题 17 分)
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如图 1，在矩形 中， = 2 2, = 2, 为 的中点．将 沿 向上翻折，进而得到多面体 1
(如图 2)．
(1)当平面 1 ⊥平面 时，求直线 1 与平面 所成角的正切值；
(2)在翻折过程中，求直线 1 与平面 所成角的最大值；
(3)在翻折过程中，求二面角 1 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.8
14. 2 3 43 , 3
15.【详解】(1)由已知可得(0.01 × 2 + 0.03 × 2 + ) × 10 = 1，解得 = 0.02，
所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 55 × 0.1 + 65 × 0.3 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.1 = 74(分)，
由于前两组的频率之和为 0.1 + 0.3 = 0.4，前三组的频率之和为 0.1 + 0.3 × 2 = 0.7，
所以，中位数 ∈ (70,80)，由题意可得 0.4 + ( 70) × 0.03 = 0.5 220，解得 = 3 (分)．
(2)由(1)可知，后三组中的人数分别为 15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为 3,2,1，
记成绩在[70,80)这组的 3 名学生分别为 , , ，成绩在[80,90)这组的 2 名学生分别为 , ，成绩在(90,100]
这组的 1 名学生为 ，
则从中任抽取 2 人的所有可能结果为( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、
( , )、( , )、( , )、( , )、( , )，共 15 种.
其中恰有 1 人成绩在[80,90)为( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )共 8 种.
8
故所求概率为 = 15．
16.【详解】(1)因为 = (1,2)， = (1, )，
所以 + = (1,2) + (1, ) = (2,2 + )，5 8 = 5(1,2) 8(1, ) = ( 3,10 8 )
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∵ + ⊥ 5 8 ，∴ + 5 8 = 0，
∴ 2 × ( 3) + (2 + ) × (10 8 ) = 0，即 4 2 + 3 7 = 0，
解得 = 74或 = 1．
(2)当 = 1 时 = (1,1)， + = (1,2) + (1,1) = (1 + ,2 + )，
∵ 与 + 的夹角为锐角，
则 + > 0 且 与 + 不共线同向，
1 × (1 + ) + 2 × (2 + ) > 0
∴ ，解得 >
5
1 × (2 + ) 2 × (1 + ) ≠ 0 3 , ≠ 0
∴ 5的取值范围是 3 , 0 ∪ (0, + ∞)．
17. sin sin sin cos +cos sin sin( + ) sin 【详解】(1)tan + tan = cos + cos = cos cos = cos cos = cos cos ，
3
由正弦定理， cos =
3sin 3
sin cos ，又 tan + tan = cos ，
sin = 3sin 所以cos cos sin cos ，
锐角 中，sin ≠ 0，cos ≠ 0，
∴ 1 = 3 sin cos sin cos = 3 = tan ，
∵ ∈ 0, π π2 ，∴ = 3．
(2)由(1) π 3知 = 3，sin = 2 , = π =
2π
3 ，
0 < < π
又 2 π π为锐角三角形，
0 < 2π π
，所以 ∈ 6 , 2 ，
3 < 2
2+ 2 sin2= +sin
2 4
由正弦定理， = sin2 2 sin2 3 + sin
2
2
4 2π 4 3 1
= 3 sin
2 + sin2 3 =
2
3 sin + 2 cos + 2 sin
4 5
= sin2
3 3
3 4 + 4 cos
2 + 2 sin cos
4 3 1 2 3= 3 4 + 2 sin + 4 sin2
2 2 3 3 1 4= 3 sin + 3 sin2 + 1 = 3 sin2 3 cos2 + 3
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= 2 sin 2 π + 43 6 3，
又 ∈ π π π π 5π π 16 , 2 ，2 6 ∈ 6 , 6 ，sin 2 6 ∈ 2 , 1 ,
2
3 sin 2
π + 4 56 3 ∈ 3 , 2 ．
2+ 2 5
所以 2 的取值范围 3 , 2 ．
18.解：(1)由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件，
1 1 1 1 1
由独立事件概率公式得甲得 10 分的概率为2 × 3 × 4 × 5 = 120．
(2)甲得 3 分有两种情况：甲答对第 1 题和第 2 题，甲答对第 3 题．且两种情况互斥，
1 1
故甲得 3 分的概率为2 × 3 × 1
1
4 × 1
1 1 1 1 1 1
5 + 1 2 × 1 3 × 4 × 1 5 = 6．
(3)若甲恰好答对 2 道题目答辩成功，则甲必定答对第 3 题和第 4 题．
1 1 1 1 1
甲答辩成功的概率为 1 2 × 1 3 × 4 × 5 = 60．
若甲恰好答对 3 道题目答辩成功，则甲答对第 2 题、第 3 题、第 4 题，
或者答对第 1 题、第 3 题、第 4 题，或者答对第 1 题、第 2 题、第 4 题．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
甲答辩成功的概率为 1 2 × 3 × 4 × 5 + 2 × 1 3 × 4 × 5 + 2 × 3 × 1
1 × 1 = 14 5 20．
由(1) 10 1 1 1 1 3可知甲得 分的概率为120，所以甲答辩成功的概率为60+ 20 + 120 = 40．
19.【详解】(1)连接 交 于点 ，如下图所示：
则 = 2 + 2 = 2 3，

因为 = , ∠ = ∠ = 90 ，所以 △ ，即∠ = ∠ ，
又∠ + ∠ = 90 ，所以∠ + ∠ = 90 ，可得 ⊥ ，
△ = 2 3 , = 4 3同理易证 ，所以 3 3 ，
翻折后当平面 1 ⊥平面 时，平面 1 ∩平面 = ，且 1 ⊥ ，
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又 1 平面 1 ，所以 1 ⊥平面 ；
可知∠ 1 即为直线 1 与平面 所成的角，
2 3
在 Rt 1 中，tan∠ 1 =
1
=
3 1
4 3 = 2，
3
1
即直线 1 与平面 所成角的正切值为2；
(2)过点 1作 1 ⊥ ，垂足为 ，如下图所示：
因为 ⊥ 1 , ⊥ , 1 ∩ = , 1 , 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
又 1 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
即∠ 1 即为直线 1 与平面 所成的角，
2 3 4 3
在翻折过程中，设∠ 1 = , ∈ 0, π ，由(1)可知， 1 = 3 , = 3 ，
在 Rt 2 31 中， 1 = 3 sin , =
2 3
3 cos ，
= = 2 3 2 cos , tan∠ = 1 = sin 所以 3 1 2 cos ，
sin
设 = 2 cos , ∈ 0, π ，则 sin + cos = 2 ，
所以 1 + 2sin( + ) = 2 ，其中 tan = ，
所以 sin( + ) ≤ 2 ≤ 1，解得 0 < ≤ 3，
1+ 2 3
3
π sin 3 3
显然当 = 3时， = 2 cos =
2 = ，故 = ，
2 1 3 max 32
即 tan∠ 1 max =
3
3 ，又易知∠ 1 ∈ 0,
π π
2 ，所以 ∠ 1 max = 6，
π
即直线 1 与平面 所成角的最大值为6；
(3)过 作 ⊥ 于点 ，连接 1 ，如下图所示：
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由(2)知 1 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ 1 = , , 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，又 ⊥ ，
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