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(共18张PPT)
华东师大版·八年级上册
13.1 勾股定理及其逆定理
13.1.3 反证法
情境导入
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
王戎的推理方法是：
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
探究新知
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b.
A
C
B
a
b
c
（1）当a2+b2=c2时，这是一个什么三角形？
直角三角形
（2）当a2+b2≠c2时，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？
作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么
（1）a=1.0，b=2.4，c=2.6；（2）a=2，b=3，c=4；
（3）a=2，b=2.5，c=3.
（1）
（2）
（3）
12+2.42=2.62
22+32≠42
22+2.52≠32
猜想：当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）存在关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
怎样证明？
然而，想从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发，直接经过推理得出结论，十分困难.
我们可以按照刚才王戎的方法推理试试.
（1）假设它是直角三角形；
（2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是直角三角形.
　 先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
这种证明方法叫做
反证法
　 先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
反证法的一般步骤：
反设
1.假设命题结论的反面成立；
2.推理得出的结论与已知、定义、公理、定理矛盾；
归谬
3.假设不成立即原结论正确；
结论
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难，则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？
在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
例5 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
例6 证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.
于是∠A+∠B+∠C > 60°+60°+60°=180 °，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
准确地作出反设（即否定结论）是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 不等于 任意的 某个
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n 1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个
对所有x 成立 存在某个x 不成立 对任何x不成立 存在某个x成立
练 习
1.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等.
已知：在△ABC中，AB≠AC.
求证：∠C≠∠B.
证明：假设∠C=∠B，由“等角对等边”可知AB=AC，这与已知“AB≠AC”矛盾，所以假设不成立，即∠C≠∠B.
2.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行.
已知：如图，直线AB、CD分别与直线EF交于点G、H，∠1≠∠2.
求证：AB不平行于CD.
证明：假设AB∥CD，由“两直线平行，内错角相等”可知∠1=∠2，这与已知“∠1≠∠2”矛盾.所以假设不成立，即AB不平行于CD.
3.求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数.
已知：整数m的平方是一个偶数.
求证：m为偶数.
证明：假设整数m是奇数，那么m可写成2n+1(n为整数)，则m2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1，无论n取何值，2(2n2+2n)+1都是奇数.这与已知“m的平方是偶数”矛盾.所以假设不成立，所以m为偶数.
课堂小结
反证法
定义：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
步骤
1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的
2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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