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华东师大版·八年级上册
13.1 勾股定理及其逆定理
13.1.2 直角三角形的判定
复习回顾
思考：如何判定一个三角形是直角三角形？
如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角.
两个角互余的三角形是直角三角形.
除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？
探究新知
在古埃及，没有三角板、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？
古埃及人曾经用下面的方法画直角：
将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗？
请同学们观察，这个三角形三边长分别为多少？
3
4
5
这个三角形的三条边有什么关系吗？
32+42=52
试作出三边长分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1) a=3，b=4，c=5；
(2) a=4，b=6，c=8；
(3) a=6，b=8，c=10.
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形不是直角三角形.
a2+b2=c2
猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
验证猜想：
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：∠C=90°.
C
A
B
∠C是直角
△ABC是直角三角形
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
证明△ABC≌△A′B′C′
C
A
B
证明：如图所示，作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c.
C′
A′
B′
在△ABC和△A′B′C′中，
∵BC = a = B′C′，
AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C=∠C′=90°.
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
C
A
B
a
c
b
几何语言
∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.
注：两条较小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角.
既学既练
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？
(1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解：(1)最长边为25，
∵a2+c2=72+242=49+576=625，
b2=252=625，
∴a2+c2=b2.
∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形.
既学既练
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？
(1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解：(2)最长边为13，
∵b2+c2=112+92=121+81=202，
a2=132=169，
∴b2+c2≠a2.
∴以13，11，9为边长的三角形不是直角三角形.
例4 在△ABC中，AB=n2 1，BC=2n，AC=n2+1（n为大于1的正整数）.问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB2+BC2=(n2 1)2+(2n)2
=n4 2n2+1+4n4
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
常见勾股数： ①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④8，15，17；⑤7，24，25.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k（k为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数.
如：3，4，5
扩大2倍
6，8，10
练 习
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足 ，则这个三角形是直角三角形吗？
解：∵ ，∴a2=c2 b2.∴a2+b2=c2.
∴这个三角形是以a、b为直角边，c为斜边的直角三角形.
3.想一想，你现在有多少种方法可以判定一个三角形是直角三角形.
解：有3种方法，分别是：
（1）直角三角形的定义；
（2）勾股定理的逆定理；
（3）一个三角形中有两个角的和为90°.
拓展提升
如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，求△ABC的面积.
解：如图，延长AD到点E，使 DE=AD，连结BE.
∵D为BC的中点，∴ CD=BD.
在△ADC和△EDB中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴ S△ADC=S△EDB，BE=AC=5.
又∵AE=2AD=4，AB=3，∴AB2+AE2=32+42=25=BE2，
∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°，即AB⊥AE.
拓展提升
如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，求△ABC的面积.
∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=S△EDB+S△ADB
=S△ABE
= AE·AB= ×4×3=6.
课堂小结
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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