资源简介

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（十六大题型）
目录
01真题实战练 2
02 模拟真题练 11
题型一：单调性的定义及判断 11
题型二：复合函数单调性的判断 12
题型三：分段函数的单调性 14
题型四：利用函数单调性求函数最值 16
题型五：利用函数单调性求参数的范围 18
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小 20
题型七：函数的奇偶性的判断与证明 21
题型八：已知函数的奇偶性求参数 24
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值 25
题型十：奇函数的中值模型 27
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 29
题型十二：函数对称性的应用 32
题型十三：函数周期性的应用 34
题型十四：对称性与周期性的综合应用 36
题型十五：类周期与倍增函数 42
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 44
03 重难拓展练 46
一、真题实战练
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
3．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
4．（2024年上海夏季高考数学真题）已知，，且是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】因为是奇函数，故即，
故，
故答案为：.
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
11．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
12．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【解析】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
16．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
二、模拟真题练
题型一：单调性的定义及判断
1．下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确；
对于B，函数在区间上是减函数，故B正确；
对于C，函数在上是增函数，故C不正确；
对于D，函数在上是增函数，故D不正确.
故选：B．
2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为R，且，
所以是奇函数，又，作出函数图象如下图：
由图知，函数在和上单调递增，在上单调递减.
故选：B
3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数，且.
(1)求的值，并指出函数的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
【解析】（1）因为，又，所以，
所以，，
此时，所以为奇函数；
（2）任取，则
，
因为,所以,所以,
所以即，
所以函数在上是增函数.
题型二：复合函数单调性的判断
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，令，
解得，即函数的单调递增区间是.
故选：D.
5．函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，解得或，
所以的定义域为，
又开口向上，对称轴为，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即的单调增区间为.
故选：A.
6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得，
故a的取值范围是.
故选；B.
题型三：分段函数的单调性
7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数满足对任意的实数，都有成立，
不妨设，则，则，即，
则函数在上为减函数，则，解得，
因此，实数的取值范围是，
故选：D．
8．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，对于任意实数，都有成立，
不妨设，则，
所以在上单调递减，
所以，解得.
故选：D
9．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数是增函数，则，即；
由，求导得，函数在上单调递增，
于是在上恒成立，因此在上恒成立，即；
又函数在上单调递增，则，从而，所以实数的取值范围是.
故选：B
10．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调，
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故在R上单调递减，
所以，
解得：.
故选：D.
题型四：利用函数单调性求函数最值
11．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【解析】由题意，令，，，，
当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，解得，
结合，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，即，解得，
这与矛盾；
当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；
则实数的取值范围为或．
故答案为：或．
12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数
①若，则的最小值为 .
②若有最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】①当时，，
则当时，，
当时，，
故的最小值为；
②由，则当时，，
由有最小值，故当时，的最小值小于等于，
则当且时，有，符合要求；
当时，，故不符合要求，故舍去.
综上所述，.
故答案为：；.
13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
【答案】16
【解析】由，而，
因为单调递增，所以，则的最大值是16.
故答案为：16
14．函数的最大值为 .
【答案】/
【解析】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
题型五：利用函数单调性求参数的范围
15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以的取值范围为.
故选：C
16．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数的对称轴是，
因为函数在区间上是增函数，所以，解得，
又因为，因此，所以的取值范围是.
故选：A．
17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，
由题可知恒成立，即.令，
则，所以在上单调递增，由，
可得，即，所以，所以，
当时，，不符合题意，故的取值范围是.
故选：B
18．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，
依题意，，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
19．已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以的图象关于成轴对称，
注意到当时，由复合函数单调性可得在上为增函数，
故在上为增函数，
所以距离越远值越大，
因为，
距离最远的为，故最大，
而，
且，
所以，
综上所述，.
故选：A.
20．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，故，故，
由对勾函数性质可得，
，且，
综上所述，有.
故选：C.
21．已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为　　
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为所以；
因为，所以；故
偶函数在,上单调递增，故，即
故选：B.
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
22．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】C
【解析】令，，
∴为奇函数，故A错误；
令，∴，
∴为偶函数，故B错误；
令，，
∴为偶函数，故C正确；
令，∴，
∴为偶函数，故D错误．
故选：C
23．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为定义域为，
则，所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，
该函数的对称中心为，故函数为奇函数.
故选：A.
24．（2024·高三·江西·期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数
B．是偶函数
C．是奇函数
D．是奇函数
【答案】B
【解析】对A，，故是奇函数，故A错误；
对B，，故是偶函数，故B正确；
对C，，故是偶函数，故C错误；
对D，，故是偶函数，故D错误.
故选：B
25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A中，函数的定义域为，且，
所以为的奇函数，符合题意；
对于B中，函数的定义域为，且，
所以为的奇函数，符合题意；
对于C中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为定义域上的奇函数，符合题意；
对于D中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为定义域上的偶函数，不符合题意.
故选：ABC.
26．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2).
【解析】（1）由题意知，，或，
所以定义域为，关于原点对称，
，
所以，
所以，所以为奇函数.
（2）由题意知的定义域为，，
所以
，
所以，所以为奇函数.
题型八：已知函数的奇偶性求参数
27．设函数，若为奇函数，则
【答案】
【解析】，又，易知的对称中心是，
把它的图象向右平移1个单位，再向下平行一个单位得图象的函数为奇函数．
，由题意，∴，．
故答案为：－2．
28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数为奇函数，则 .
【答案】
【解析】设，若函数是奇函数，
则是奇函数，函数的定义域为，
，即，
则，则.
故答案为：
29．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .
【答案】
【解析】函数是奇函数，，
当时，，，
而当时，，则，
当时，，，
而当时，，则，
所以，.
故答案为：
30．设奇函数 ，则的值为 .
【答案】0
【解析】因为函数为奇函数，所以，
即，
所以.
故答案为：.
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ．
【答案】27
【解析】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数，
而，①
所以，即，②
由①②得，所以．
故答案为：.
32．已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则 ．
【答案】
【解析】因为……①
所以
因为为偶函数，为奇函数，所以……②
①②联立解得：，，
所以.
故答案为：.
33．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
【答案】
【解析】
和已知条件相加得
故
故
故答案为：
34．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数，
则，
所以，即，
解得.
故选：B
题型十：奇函数的中值模型
35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 .
【答案】2
【解析】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，
所以函数最大值和最小值之和为0，
则函数的最大值和最小值之和为2.
故答案为：2.
36．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中且，，，则和的值一定不会是（ ）
A．和 B．-3和4
C．3和-1 D．和
【答案】C
【解析】令，，易得，，所以，因为，所以为奇数，验证可知A、B、D三组数值和均为奇数，C组数值和为偶数，故C组数值一定不是和的值.
故选：C.
37．已知函数，正实数满足，则的最小值为 .
【答案】2
【解析】令，由，得定义域为R，
，即函数是奇函数，
而，当时，函数是增函数，又是增函数，
于是函数在上单调递减，由奇函数的性质知，函数在上单调递减，
因此函数在R上单调递减，由，得，
即，则，即，又，
所以，当且仅当时取得，
所以的最小值为2.
故答案为：2
38．已知函数，则是 （填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函数；若，则 .
【答案】 奇
【解析】因为定义域为R,则，
则，所以为奇函数.
因为，所以，所以，所以
故答案为：奇，
39．（2024·安徽安庆·三模）若，都有成立，则函数在上的最大值与最小值的和为 .
【答案】
【解析】依题意，，都有成立，
令，则，所以；
令，，即
令，则的定义域为，
且，
故为上的奇函数，
，
令，则的定义域为，
且，故为上的奇函数，
故为上的奇函数，由奇函数的图象关于原点对称，故在上的最大值与最小值的和为
故为上的最大值与最小值的和为，
故答案为：
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
40．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，，
令，则，
所以是奇函数．又由，可得，
即，得．
由，因为均为上的减函数，
所以在上单调递减，所以，即，
解得，即实数的取值范围是．
故选：A
41．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以
，
设，显然定义域为，，
又，
所以为上的奇函数，
又，
所以在上单调递增，
又，则，
所以，即，
所以，解得，
则满足的的取值范围是．
故选：C．
42．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为.
因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为.
故选：C
43．（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】记，
令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因为
，
所以为偶函数.
所以，
又在上单调递增，
所以，即，解得.
故选：C
题型十二：函数对称性的应用
44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】的图象关于原点对称，则的图象关于点对称．同样如函数也满足题意．
故答案为：（答案不唯一）．
45．（2024·四川泸州·一模）函数的对称中心为 ．
【答案】
【解析】因为，
则的图象可以由函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
因为为奇函数，函数图象关于原点对称，所以关于对称.
故答案为：
46．已知函数，函数满足，若与的图象有6个交点，则所有交点横坐标之和等于 .
【答案】6
【解析】已知函数，绘制其图像如下图：
根据图像易知函数关于中心对称；
又函数满足，易知也关于中心对称.
由于与均关于中心对称，可得两个函数的交点也关于中心对称，
设其交点分别为，，…，，
根据对称性易知，即得：.
故答案为：
47．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设所求函数的图象上任意一点，则点关于对称的点为，
由题意知点Q在的图象上，可得，
即函数关于对称的函数解析式为．
故选：D．
48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为奇函数，所以，
所以关于对称，
因为，
所以的对称中心为，，
所以也关于对称，
所以与两个图象的交点也关于对称，
所以对于每组对称点和均满足，，
所以.
故选：B.
题型十三：函数周期性的应用
49．已知函数的定义域是，，，当时，，则 ．
【答案】
【解析】由得：，
又，，
，，
.
故答案为：.
50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ．
【答案】
【解析】因为是奇函数，所以，
用替换上式中的，可得，
在中，用替换，可得，
所以，用替换该式中的，可得，
所以，所以函数的周期为，
在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，
所以.
故答案为：.
51．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则 ．
【答案】
【解析】因为为偶函数，
所以，又，
所以，
因为，所以，
所以，
所以函数为周期函数，周期为，
所以，
由，可得，
由，可得，
所以，
所以，
故答案为：.
52．（多选题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的一个周期为4 B．点是函数的一个对称中心
C．时， D．
【答案】AD
【解析】为奇函数，，且，函数关于点，
偶函数，，函数关于直线对称，
，
即，，
令，则，，
，故的一个周期为4，故A正确；
则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；
当时，，
，，
又，，解得，
，，
当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
题型十四：对称性与周期性的综合应用
53．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由函数的图象关于原点对称，，
即，即①，
由函数的图象关于y轴对称，可得②，
由可得，又得，
两式相加，，将①式代入，得，
则得，将②式代入得，，则，
于是，即的周期为12.
又，由①可得，得，
又由可得，即得.
因，可得，，
于是，
故选：B.
54．（2024·云南昆明·一模）已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （ ）
A．21 B．22 C． D．
【答案】C
【解析】∵为偶函数且，则，
故关于点对称，
又∵，则，
则是以周期为4 的周期函数，故关于点对称，
∴，
则，
又∵，
则，
故.
故选：C.
55．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则 .
【答案】
【解析】对任意，由于，且函数的定义域为，
故点在曲线上，且曲线关于点中心对称，
故点也在曲线上，从而，
从而对任意有.
从而对任意，由知，即.
根据条件又有，即.
现在对任意的整数，我们有：
，
所以，从而有：
.
故有：
.
故答案为：.
56．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可知关于对称，又，则，
又，则，
，.
故选：A.
57．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【解析】因为是偶函数，
所以的图象关于直线对称，
即，
即，
所以.
所以关于点中心对称.
又是定义域为的偶函数，
所以，
所以，
即，
所以函数的周期为4.
所以，
所以.
故选：D.
58．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，且当时，，则 .
【答案】
【解析】因为均为偶函数，
所以，，
所以函数关于对称，函数关于对称，
由可得，
即，为常数，
所以，即关于点对称，
且函数关于对称，
所以，，故，即是函数的一个周期，
由可得，
所以，即，
所以关于点对称，且函数关于对称，
则，，
故，所以是函数的一个周期，
又当时，，所以，
所以，
由，令，则，
而，
所以，则，所以，
则.
故答案为：
题型十五：类周期与倍增函数
59．（2024·江西上饶·一模）已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的取值范围是．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，；当时，；又时，，所以可作出函数在[－2，4]的图像如下：
又函数在区间[－2，4]内有3个零点，所以函数与在区间[－2，4]内有3个不同交点，由图像可得或,
即或.
故选D
60．（2024·河北衡水·一模）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
可得在，上单调递减，在上单调递增，
在，上的值域为，，
在上的值域为，，
在上的值域为，，
，
，
在上的值域为，，
当时，为增函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为减函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上，的范围是或．
故选：．
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
61．已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
【解析】（1）是奇函数，证明如下：
因为，令，得到，
令，得到，即，所以是奇函数.
（2）令，得到，由（1）知是奇函数，
所以.
（3）在上单调递增，证明如下：
在上任取，令，
则，
又因为，而，所以，
即，得到，所以在上单调递增.
62．已知定义在上的函数满足，，，且．
(1)求，，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明．
【解析】（1）令，得，
因为，所以．
令，得，
因为，所以．
令，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）为偶函数．
证明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定义域为，所以为偶函数．
63．已知函数对任意，，总有，且当时，，．
(1)求证：是上的奇函数；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）证明：函数对任意，，总有，令，则，解得.
令，得到，则
可证，是上的奇函数.
（2）证明：在上任取、且，则，
由（1）是上的奇函数，
所以，
因为，所以.
由题可知，当时，，
所以.即
所以函数是上的减函数.
（3）因为，
令，则
令，则.
因为，
所以
又因为函数是上的减函数，
所以，则，解得，
则实数的取值范围是.
三、重难拓展练
1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（ ）
A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
【答案】D
【解析】由，得且，
因为，所以函数为奇函数，
所以的图象关于原点对称，所以选项A正确．
因为，
所以是函数的一个周期，
由选项A知点是函数的图象的对称中心，
则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确．
因为，
所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确．
方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，
由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误．
方法二：因为，所以在区间上单调递减，
所以选项D错误．
故选：D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
3．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】设，则，即，
即，所以.
因为，所以，.
故选：A
4．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意得，函数为奇函数，且定义域为，
由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意，
所以当时，，
所以.
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】D
【解析】当时，不恒成立，故，A错误．
B：解法一 令，得，又，所以，
故，B错误．
解法二 令，得，又，所以，B错误．
C：解法一 由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．
解法二 令，得，又，所以，
所以，结合选项得C错误，D正确．
综上可知，选D．
故选：D.
6．（2024·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以，
即，
所以，
又是奇函数，所以，
即，所以，
则，
所以是以为周期的周期函数，
又当时，，所以，
则，
所以.
故选：A
7．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有．
因为，都有，所以，
所以，又函数的图象在x轴上方，
所以，所以，即函数的周期为4．
当，可得，所以，
当，可得，所以，所以，
所以.
故选：C．
8．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．为偶函数
C．有最小值 D．在上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C
9．（多选题）（2024·湖南常德·一模）若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．在定义域上单调递增
C．当时，
D．
【答案】BCD
【解析】由知恒成立，再由知恒成立.
设，则，且.
故，.
由于，故.
而，故归纳即知.
又因为对有，故归纳即知.
特别地有，故，所以对有.
这就得到了，从而.
设有无理数，有理数数列使得，由于是连续的，故，而，故.
这就表明.
由于，故不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A错误；
由于在定义域上单调递增，且当时，，故B，C正确；
对于D，由可得，
从而，D正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数 B． C． D．
【答案】BC
【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式：．
证明过程如下：
．
由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误．
因为，故选项B正确．
因为，故选项C正确．
因为，故，故选项D错误．
方法二：对于选项A，因为的定义域为，
令，则，故，则，
令，则，
又不恒为0，故，
所以为奇函数，故A错误．
对于选项B，令，则．
而，所以，故选项B正确．
对于选项C，由选项B可知，，
令，则，所以．
又因为为奇函数，所以，故C正确．
对于选项D，由选项B以及，可得，
所以，同理可得．
因为，故，故D错误．
故选：BC
11．（多选题）（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．函数是奇函数 C． D．的一个周期为3
【答案】AC
【解析】令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；
，令，则，
令，则，所以，
所以，因为，所以，，C选项正确；
令，则，
所以，，所以，的一个周期为6，D选项错误.
故选：AC．
12．（多选题）（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【解析】因为函数是奇函数，
则不等式，可变形为，
因为函数在上单调递增，
则不等式成立，则，
解得，1，2符合题意，
故选：CD.
13．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ．
①；②至少有两个零点；③有最小值．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，其对称轴为，满足①，
令，解得或2，满足②至少有两个零点，
，当，，满足③有最小值.
故答案为：（答案不唯一）.
14．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ．
【答案】2499
【解析】因为的图象关于点对称，所以，
则即，
又的图象关于直线对称，则，
所以，即，
可得，则是以4为周期的函数.
因为，
由，令，得，
所以，，，
所以
.
故答案为：2499.
15．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数 .
【答案】
【解析】定义域为，
，
所以，
故，
故答案为：
16．（2024·山西吕梁·二模）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为 .
【答案】/
【解析】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，
得，
两式相减得，所以，
由时，由，得；
由时，由，得；
又由，结合，，
所以成首项为，公差为的等差数列，
所以，且此等差数列为递增数列，
所以的中位数为：.
故答案为：.函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（十六大题型）
目录
01真题实战练 2
02 模拟真题练 4
题型一：单调性的定义及判断 4
题型二：复合函数单调性的判断 4
题型三：分段函数的单调性 5
题型四：利用函数单调性求函数最值 5
题型五：利用函数单调性求参数的范围 6
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小 7
题型七：函数的奇偶性的判断与证明 7
题型八：已知函数的奇偶性求参数 8
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值 9
题型十：奇函数的中值模型 10
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 10
题型十二：函数对称性的应用 10
题型十三：函数周期性的应用 11
题型十四：对称性与周期性的综合应用 12
题型十五：类周期与倍增函数 12
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 13
03 重难拓展练 14
一、真题实战练
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ．
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024年上海夏季高考数学真题）已知，，且是奇函数，则 ．
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
11．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数是偶函数，则 .
16．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若是奇函数，则 ， ．
二、模拟真题练
题型一：单调性的定义及判断
1．下列函数在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减
3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数，且.
(1)求的值，并指出函数的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
题型二：复合函数单调性的判断
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：分段函数的单调性
7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用函数单调性求函数最值
11．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数
①若，则的最小值为 .
②若有最小值，则实数的取值范围是 .
13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
14．函数的最大值为 .
题型五：利用函数单调性求参数的范围
15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
19．已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
21．已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为　　
A． B．
C． D．
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
22．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
23．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·高三·江西·期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数
B．是偶函数
C．是奇函数
D．是奇函数
25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
26．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2).
题型八：已知函数的奇偶性求参数
27．设函数，若为奇函数，则
28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数为奇函数，则 .
29．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .
30．设奇函数 ，则的值为 .
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ．
32．已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则 ．
33．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
34．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型十：奇函数的中值模型
35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 .
36．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中且，，，则和的值一定不会是（ ）
A．和 B．-3和4
C．3和-1 D．和
37．已知函数，正实数满足，则的最小值为 .
38．已知函数，则是 （填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函数；若，则 .
39．（2024·安徽安庆·三模）若，都有成立，则函数在上的最大值与最小值的和为 .
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
40．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
41．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A． B．
C． D．
43．（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型十二：函数对称性的应用
44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式 ．
45．（2024·四川泸州·一模）函数的对称中心为 ．
46．已知函数，函数满足，若与的图象有6个交点，则所有交点横坐标之和等于 .
47．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型十三：函数周期性的应用
49．已知函数的定义域是，，，当时，，则 ．
50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ．
51．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则 ．
52．（多选题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的一个周期为4 B．点是函数的一个对称中心
C．时， D．
题型十四：对称性与周期性的综合应用
53．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
54．（2024·云南昆明·一模）已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （ ）
A．21 B．22 C． D．
55．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则 .
56．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（ ）
A． B． C． D．
57．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A． B． C．4 D．6
58．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，且当时，，则 .
题型十五：类周期与倍增函数
59．（2024·江西上饶·一模）已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的取值范围是．
A． B．
C． D．
60．（2024·河北衡水·一模）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
61．已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
62．已知定义在上的函数满足，，，且．
(1)求，，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明．
63．已知函数对任意，，总有，且当时，，．
(1)求证：是上的奇函数；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，求实数的取值范围．
三、重难拓展练
1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（ ）
A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
3．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
6．（2024·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．1
7．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．为偶函数
C．有最小值 D．在上单调递增
9．（多选题）（2024·湖南常德·一模）若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．在定义域上单调递增
C．当时，
D．
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数 B． C． D．
11．（多选题）（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．函数是奇函数
C． D．的一个周期为3
12．（多选题）（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
13．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ．
①；②至少有两个零点；③有最小值．
14．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ．
15．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数 .
16．（2024·山西吕梁·二模）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为 .

展开更多......

收起↑