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华东师大版·八年级上册
13.1 勾股定理及其逆定理
13.1.1 直角三角形三边的关系
第1课时 勾股定理
新课导入
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)吗？在这次大会上，可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
会徽的原型即是1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.
探究新知
思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？
P
Q
R
A
C
B
SP+SQ=SR
直角三角形ABC三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
观察右图，如果每一小方格表示1cm2，那么可以得到：
P
Q
R
A
B
C
正方形P的面积=______cm2；
正方形Q的面积=______cm2；
正方形R的面积=______cm2.
9
16
25
P
Q
R
A
B
C
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_____________
_______________.
SP+SQ=SR
由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关系是：
AC2+BC2=AB2
作出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
5cm
12cm
13cm
对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢？
a
b
c
大正方形的面积=c2.
4个全等的直角三角形和1个小正方形的面积之和
= .
即a2+b2=c2.
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2，
a
b
c
这种关系我们称为勾股定理.
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2(勾股定理).
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代伟大的数学成就.
勾
股
a
b
c
股
勾
弦
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例1 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC的长.
解：根据勾股定理，可得AB2 + BC2=AC2.
所以AC= = =10.
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长.
练 习
1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C=90°.
(1)若a=6，c=10，求b； (2)若a=24，c=25，求b.
解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，由勾股定理，得 .
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=24，c=25，根据勾股定理，得 .
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3cm和4cm，那么这个三角形的周长是多少厘米？（精确到0.1cm）
解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是
=5，周长是3+4+5=12(cm)；②若这两边中较长的边是斜边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为 (cm)，周长是 (cm)，所以此三角形的周长是12cm或9.6cm.
如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.
解：∵∠A=∠C′=∠C=90°,
∠AEB=∠C′ED，AB=C′D,
∴△AEB≌△C′ED.
∴AE=C′E，
∴C′E=AD ED=8 ED.
又在△EC′D中，ED2=C′E2+C′D2.
∴ED2=(8 ED)2+42，解得ED=5.
拓展延伸
课堂小结
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
a2+b2=c2
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长.
数学思想：数形结合思想；特殊到一般的思想；转化思想.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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