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4.1 第3课时 三角形中角的关系
素养目标
1.会按角把三角形分类.
2.理解三角形内角和为180°,能用三角形内角和定理解决有关问题.
3.知道三角形外角的概念,知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
重点
三角形的内角和定理的探究.
【自主预习】
1.三角形的三个内角和等于多少度
2.在△ABC中,∠A=100°,则△ABC是什么三角形
1.在△ABC中,∠A=50°,∠C=60°,则∠B的度数是 (　　)
A.30° B.50° C.60° D.70°
2.已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A+∠B=∠C,则这个三角形是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
【合作探究】
知识点一：三角形的内角和
阅读课本本课时“例3”之前的内容,回答下列问题.
1.课堂操作:给你一张三角形纸片,你能运用折叠或剪拼的办法得出三角形的三个内角和是180°吗
2.思考:(1)平角=　　　　.
(2)仿照课本中的方法,构造平角,还可以过点B作边　　　　或过点　　　　作边BC的平行线.
3.揭示概念:△ABC的内角和等于　　　　,即∠A+∠B+∠C=　　　　.
4.说一说:课本“例3”中,运用　　　　这一等量关系,设出一元一次方程,从而利用方程求解三角形的各内角的度数.
1.一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=65°,∠B=70°,则这个三角形残缺前的∠C的度数为 (　　)
A.55° B.50° C.45° D.40°
知识点二：三角形按角分类
阅读课本本课时“说一说”及相关内容,回答下列问题.
1.思考:因为三角形的内角和等于180°,在三角形的三个内角中,最多能有　　　　个直角,最多能有　　　　个钝角,　　　　个锐角.
2.明晰概念:(1)三角形中,三个角都是锐角的三角形叫作　　　　三角形,有一个角是直角的三角形叫作　　　　三角形,有一个角是钝角的三角形叫作　　　　三角形.
(2)直角三角形中夹直角的两边叫作　　　　边,直角相对的边叫作　　　　,直角三角形ABC可以简写成“　　　　”.
2.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4,则△ABC是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
知识点三：三角形的外角定理
阅读课本本课时“思考”至“例4”的内容,回答下列问题.
1.明晰概念:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫作三角形的　　　　.
2.观察:课本“图4.1-15”,若延长AC到点E,则三角形∠ACB的外角也可以是　　　　,该角与∠ACD互为　　　　,因此,三角形的每一个内角相邻的外角可作　　　　个,它们相等.
3.思考:(1)三角形的外角和与之相邻的内角的数量关系是　　　　.理由:　　　　.
(2)课本“图4.1-15”中,∠ACB加上外角　　　　等于180°,且∠ACB加上另外两个内角等于180°,即　　　　=　　　　.
　　(1)三角形的一个外角等于与它　　　　的两个内角的和;(2)三角形的一个外角　　　　任何一个和它不相邻的内角;(3)三角形外角和为　　　　.
·学法指导·
　　三角形外角的所有相关性质都是由三角形的内角和为180°推理得到的.
3.如图,∠AOB=35°,∠ABD=110°,则∠OAB的度数为 (　　)
A.65° B.70° C.75° D.80°
三角形内角、外角的应用
例　如图,∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.
变式训练　如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.180°.
2.钝角三角形.
自学检测
1.D　2.B
【合作探究】
知识生成
知识点一
2.(1)180°
(2)AC的平行线　A
3.180°　180°
4.三角形的内角和为180°
对点训练
1.C
知识点二
1.1　1　3
2.(1)锐角　直角　钝角
(2)直角　斜边　Rt△ABC
对点训练
2.B
知识点三
1.外角
2.∠BCE　对顶角　两
3.(1)互补　平角等于180°
(2)∠ACD　∠ACD　∠A+∠B
归纳总结　(1)不相邻　(2)大于　(3)360°
对点训练
3.C
题型精讲
题型
例
解:如图,连接AD,并延长.
因为∠3=∠1+∠B,∠4=∠2+∠C,
所以∠BDC=∠3+∠4=(∠1+∠B)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.
因为∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°,
所以∠BDC=110°.
变式训练　
解:因为∠AGF=∠C+∠E,∠AFG=∠B+∠D,∠A+∠AGF+∠AFG=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

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