资源简介

4.2.2 证明,举反例
素养目标
1.知道命题有真假,会用“举反例”的方法说明一个命题是假命题.
2.知道证明的含义,体会证明的必要性.
3.知道反证法的概念及反证法的步骤.
重点
判断命题的真假.
【自主预习】
1.从命题正确性的角度可分为哪些命题
2.请举出一个反例说明命题“若a2≥4,则a≥2”是假命题.
1.下列命题是假命题的是 (　　)
A.相等的角是对顶角
B.同位角相等,两直线平行
C.若ab=0,则a=0或b=0
D.两点之间,线段最短
2.若用反证法证明命题“若a=0或b=0,则ab=0”时,应假设 (　　)
A.ab≠0 B.a≠0
C.b≠0 D.a≠b
3.“平行于同一条直线的两条直线平行”是　　　　命题.(填“真”或“假”)
【合作探究】
知识点一：举反例
阅读课本本课时“议一议”和“做一做”的内容,回答下列问题.
1.(1)讨论:我们知道命题是对一件事情作出判断,那么这种判断一定是真的吗
(2)我们把正确的命题称为　　　　,错误的命题称为　　　　.
2.交流:什么是反例 反例有何意义
·学法指导·
　　只有一部分命题可以通过举反例的方式说明它们为假命题.大部分命题都需要通过证明来判断其真假.因此,我们应该学习证明严谨的推理的过程和条件与结论的因果关系.
1.判断下列命题是真命题,还是假命题;如果是假命题,举一个反例.
(1)若a2>b2,则a>b;
(2)同旁内角互补,两直线平行;
(3)一个角的余角小于这个角.
·学法指导·
　　说明一个命题为真命题需要逻辑推理;说明一个命题为假命题只需举出一个反例,但是,若举不出反例的话,也需要通过逻辑推理来说明这个命题为假命题.
知识点二：证明与反证法的概念
阅读课本本课时“思考”至“练习”中的内容,回答下列问题.
1.从命题的条件出发,通过逻辑推理,得出这个命题的结论成立,这一过程叫作　　　　.
2.反证法基本步骤:
(1)假设命题　　　　;
(2)导出　　　　;
(3)肯定　　　　.
2.用反证法证明:任意一个三角形的三个外角中至多有一个直角.
命题真假的判断问题
例　命题:一个锐角和一个钝角一定互为补角.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)判断这个逆命题是真命题还是假命题.如果是假命题,请举一个反例.
变式训练　将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并判断它们是真命题还是假命题.若是假命题,请举出反例.
(1)互为相反数的两个数的和为零.
(2)同旁内角互补.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.真命题和假命题.
2.a=-4(答案不唯一).
自学检测
1.A　2.A　3.真
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.(1)不是,有一些判断是正确的,有一些判断是不正确的.
(2)真命题　假命题
2.符合命题的条件,但不符合命题结论的例子,我们称之为反例.要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.
对点训练
1.解:(1)假命题;反例:如(-3)2>02,但是-3<0.
(2)真命题.
(3)假命题.反例:当一个角为30°时,它的余角等于60°,大于这个角.
知识点二
1.证明
2.(1)不成立　(2)矛盾　(3)结论
对点训练
2.证明:假设△ABC的三个外角中至少有两个直角,则△ABC的三个内角中至少有两个直角,不妨设∠B=∠C=90°,则∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°相矛盾,所以任意一个三角形的三个外角中至多有一个直角.
题型精讲
题型
例
解:(1)逆命题:“互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角”.
(2)假命题.
反例:两个角都是直角.
变式训练　
解:(1)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零;是真命题.
(2)如果两个角是同旁内角,那么它们互补;是假命题.
反例:如图,∠1和∠2是同旁内角,
但两直线不平行,故∠1和∠2不互补.

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