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4.3.3 第2课时 用“角角边”判定三角形全等
素养目标
1.应用“角边角”全等的判定条件理解“角角边”判定三角形全等的定理.
2.能应用“角角边”判定两个三角形全等,进行简单的推理与证明.
重点
“角角边”判定方法及应用.
【自主预习】
1.两个三角形有两个角对应相等,第三个角一定相等吗
2.两个三角形满足两角和一组对应边相等,这两个三角形会全等吗
1.如图,AB=AC,若利用“角角边”判定△ABE≌△ACD,则需要添加的一个条件是 (　　)
A.AD=AE B.∠B=∠C
C.BE=CD D.∠AEB=∠ADC
2.如图,AD,BC相交于点O,已知∠A=∠C,要根据“角角边”证明△AOB≌△COD,还要添加的一个条件是　　　　.
【合作探究】
知识点：全等三角形的判定方法3“角角边”
阅读课本本课时所有内容,回答下列问题.
1.如图,若∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DF,思考:
(1)由三角形内角和,我们可以知道∠C　　　　∠F.
(2)已知三角形的三个内角对应相等,一组边对应相等,在之前学过的三角形判定方法中,可用　　　　判定这两个三角形全等.
(3)结论:当已知两个三角形两角分别相等且其中一组等角的对边相等时,则可以知道这两个三角形的两角和一夹边　　　　.
2.揭示概念:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形　　　　,通常可简写成“角角边”或“AAS”.
3.讨论:在上图中,若∠A=∠D,∠B=∠E,AB=DF,则这两个三角形全等吗 为什么
·学法指导·
　　“角角边”很容易推出“角边角”,将“角角边”与“角边角”结合起来,可得出:两个三角形如果有两个内角对应相等,那么只要有任意一条边对应相等,就可判定其全等.要注意是任意一条边对应相等.
1.如图,已知AD平分∠BAC,若利用“角角边”判定△ABD≌△ACD,则需要添加的条件是　　　　.
2.如图,∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,AC与BD交于点O.求证:AB=DC.
“角角边”的应用
例　如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,AB∥CD,∠B=∠AFE,AE是∠BAF的平分线.
求证:(1)△ABE≌△AFE;
(2)∠FAD=∠CDE.
【方法归纳】证明三角形全等时,题目中一般会给出一些条件,要在已知条件的基础上,分析还需要什么条件,找边之间的关系还是找角之间的关系,尤其要注意题目中的隐含条件.
变式训练　
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点F,且DF=DC.
(1)求证:△BDF≌△ADC.
(2)若AF=3,BC=5,求AD的长.
2.如图,已知∠A=∠D,点E,F在BC上,AF∥DE,且BE=CF.判断AB与CD的关系,并证明.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.一定相等.
2.会全等.
自学检测
1.D
2.AB=CD(或OB=OD)
【合作探究】
知识生成
知识点
1.(1)=
(2)角边角
(3)对应相等
2.全等
3.不全等,在说明两个三角形全等时,应注意顶点的对应关系.
对点训练
1.∠B=∠C
2.证明:因为∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,又BC=BC,所以△ABC≌△DCB(角角边),所以AB=DC.
题型精讲
题型
例
证明:(1)因为AE是∠BAF的平分线,所以∠BAE=∠FAE.在△ABE和△AFE中,因为∠B=∠AFE,∠BAE=∠FAE,AE=AE,所以△ABE≌△AFE(角角边).
(2)因为△ABE≌△AFE,所以AB=AF.因为AB=CD,AD∥BC,AB∥CD,所以AF=CD,∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180°.因为∠B=∠AFE,∠AFE+∠AFD=180°,所以∠AFD=∠C.在△AFD和△DCE中,因为∠ADF=∠DEC,∠AFD=∠C,AF=DC,所以△AFD≌△DCE(角角边),所以∠FAD=∠CDE.
变式训练　
1.解:(1)证明:因为AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点F,
所以∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,
所以∠DBF=∠DAC=90°-∠C.
在△BDF和△ADC中,
所以△BDF≌△ADC(角角边).
(2)由(1)得△BDF≌△ADC,所以BD=AD,
所以BC-DC=AF+DF.
因为DF=DC,AF=3,BC=5,
所以5-DF=3+DF,所以DF=1,
所以AD=AF+DF=3+1=4,
所以AD的长为4.
2.解:AB=CD,AB∥CD.
证明:因为点E,F在BC上,且BE=CF,
所以BE-EF=CF-EF,所以BF=CE.
因为AF∥DE,所以∠AFC=∠DEB,
所以180°-∠AFC=180°-∠DEB,
所以∠AFB=∠DEC.
在△ABF和△DCE中,
所以△ABF≌△DCE(角角边),
所以AB=CD,∠B=∠C,
所以AB∥CD.

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