资源简介

4.3.5 三角形全等的应用
素养目标
1.会把实际问题转化为三角形全等问题.
2.会运用全等三角形的判定和性质解决实际问题.
重点
利用全等三角形的判定和性质解决实际问题.
【自主预习】
1.全等三角形的判定有哪些
2.怎样利用全等三角形解决实际问题
1.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块,要想配一块与原来大小一样的三角形玻璃,可带去的玻璃是 (　　)
A.第1块 B.第2块
C.第3块 D.第4块
2.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B之间的距离,可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走14米到点C,并在点C处立一根标杆,然后方向不变继续向东走14米到点D,再向南走27米,到达点E,使点E与点A,C在同一直线上,这时测得AB的长为　　　　米.
【合作探究】
知识点：全等三角形的应用
阅读课本本课时所有的内容,回答下列问题.
利用全等三角形解决实际问题的一般步骤:
第一步,将实际问题转化成几何图形:明确哪些是已知条件,哪些是需要求解的问题.
第二步,找全等条件,判断两个三角形　　　:根据已知条件和几何图形,寻找能够证明两个三角形全等的条件.
第三步,利用全等三角形的性质来解决问题:一旦证明了两个三角形全等,就可以利用全等三角形的性质,即　　　　相等和　　　　相等,来解决实际问题.
·学法指导·
　　在实际操作中,可能还需要结合具体的几何知识和其他数学工具来进行分析和计算.
1.如图,这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨AB=AC,E,F分别是AB,AC的中点,DE,DF是连接弹簧和伞骨的支架,且DE=DF.已知弹簧D在向上滑动的过程中,总有△ADE≌△ADF,其判定依据是 (　　)
A.角边角 B.角角边
C.边边边 D.边角边
2.如图,小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度.已知OA=OD,OB=OC,AB=8 cm,EF=10 cm,则该容器壁的厚度为　　　　cm.
3.如图,把一个长为10 m的梯子AB斜靠在墙上,测得BM=6 m,梯子沿墙下滑到CD的位置,测得∠ABM=∠DCM,DM=8 m,求梯子下滑的高度.
测量方案问题
例　阅读并完成相应的任务.
如图,小华站在堤岸凉亭A点处,正对他的B点停有一艘游艇,他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离,于是制订了如下方案.
课题 测量凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案 示意图
测量步骤 ①小华沿堤岸走到电线杆C旁; ②再往前走相同的距离,到达D点; ③然后他向左直行,当自己、电线杆与游艇在同一直线上时停下来,此时小华位于点E处
测量数据 ∠A=90°,∠D=90°,AC=20米,CD=20米,DE=8米
任务:(1)凉亭与游艇之间的距离是　　　　米.
(2)请你说明小华方案正确的理由.
变式训练　学习完“利用三角形全等测距离”后,数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A,B两点间的距离”这一问题,设计了如下方案.
课题 测量河两岸A,B两点间的距离
测量工具 测量角度的仪器,皮尺等
测量方案 示意图
测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使得点A,B,C在一条直线上,且CD=BC; ②测得∠DCB=100°,∠ADC=65°; ③在CD的延长线上取点E,使得∠BEC=15°; ④测得DE的长度为30米
请你根据以上方案求出A,B两点间的距离.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.边角边,角边角,角角边,边边边.
2.先将实际问题转化为几何图形中的全等三角形模型,再利用全等三角形的判定和性质求解.
自学检测
1.D　2.27
【合作探究】
知识生成
知识点
全等　对应边　对应角
对点训练
1.C　2.1
3.解:在△ABM和△DCM中,
所以△ABM≌△DCM(角角边),
所以BM=CM=6 m,AM=DM=8 m,
所以AC=AM-CM=2 m,
即梯子下滑的高度是2 m.
题型精讲
题型
例
解:(1)8.
(2)由题意可知AC=DC,∠A=∠D.
在△ABC和△DEC中,
所以△ABC≌△DEC(角边角),
所以AB=DE=8米,
所以小华的方案是正确的.
变式训练　
解:因为∠DCB=100°,∠ADC=65°,
所以∠CAD=15°,
所以∠CAD=∠BEC.
在△ACD和△ECB中,
所以△ACD≌△ECB(角角边),
所以AC=CE.
因为CB=CD,
所以AB=DE=30米.

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