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4.5 第1课时 等腰三角形的性质与判定
素养目标
1.掌握等腰三角形的性质和判定.
2.能运用等腰三角形的性质和判定解决相关问题.
重点
等腰三角形的性质和判定.
【自主预习】
1.等腰三角形的两个底角有什么关系
2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线有什么特点
3.怎样的三角形是等腰三角形
1.如图,AD为△ABC的中线.若AB=AC,则下列结论不一定成立的是 (　　)
A.BD=CD B.AD⊥BC
C.∠BAD=∠CAD D.AD=CD
2.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=80°,则∠B=　　　　.
3.在△ABC中,∠A=100°,当∠B=　　　　时,△ABC是等腰三角形.
【合作探究】
知识点一：等腰三角形的性质
阅读课本本课时“思考”至“议一议”的内容,回答下列问题.
1.课堂操作:有两条边相等的三角形叫等腰三角形.试画一个等腰三角形,并剪下,将其对折.等腰三角形是轴对称图形吗 对称轴过哪个顶点 过哪条边
2.通过上述的“操作”,试观察下图,AD为折痕(对称轴),思考:
(1)底角∠B与底角∠C能完全重合吗 说明了什么
(2)BD与CD能完全重合吗 说明AD是△ABC的什么特殊线段
(3)∠CAD与∠BAD能完全重合吗 说明了AD是△ABC的什么特殊线段
(4)∠ADC与∠ADB能完全重合吗 说明了AD是△ABC的什么特殊线段
　　(1)等腰三角形是　　　　,对称轴平分顶角;(2)等腰三角形　　　　合一;(3)等腰三角形两底角　　　　,简称“　　　　”.
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,若∠BAC=66°,则∠BAD=　　　　.
知识点二：等腰三角形的判定
阅读课本本课时“探究”至“例3”的内容,回答下列问题.
1.(1)课堂操作:分别用量角器与直尺测量课本“图4.5-5”中的∠B与∠C,AB与AC,它们相等吗
(2)思考:如图,∠B=∠C,过点A作∠BAC的平分线,△ABD与△ACD全等吗 依据是什么
(3)由(2)可知AB=AC,因此△ABC是　　　　三角形.
2.揭示概念:等腰三角形的判定定理为有两个角相等的三角形是　　　　(简称“等角对　　　　”).
2.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有 (　　)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
等腰三角形性质与判定的综合应用
例　如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=35°,E是BC边上一点且AE=CE,D是BC的中点,连接AD.
(1)求∠DAE的度数.
(2)若BD上存在点F,且∠AFE=∠AEF,求证:BF=CE.
变式训练　
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E.
(1)过点E作EF∥BC交AB于点F,求证:FB=FE.
(2)若∠C=36°,求∠BAD的度数.
2.在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,E为AC边上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图1,若∠ABC=60°,∠ADE=80°,求α,β的度数.
(2)如图2,若D是BC边上任意一点,则α,β之间有什么数量关系 并说明理由.
图1　　图2
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.相等.
2.会重合.
3.两边相等或两个角相等的三角形是等腰三角形.
自学检测
1.D　2.50°　3.40°
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.是.对称轴过两条腰相交的顶点,过底边.
2.(1)能,两底角相等.
(2)能,是底边上的中线.
(3)能,是顶角∠CAB的平分线.
(4)能,是底边上的高.
归纳总结　(1)轴对称图形　(2)三线　(3)相等　等边对等角
对点训练
1.33°
知识点二
1.(1)相等.
(2)全等,依据是全等三角形的判定“角角边”.
(3)等腰
2.等腰三角形　等边
对点训练
2.D
题型精讲
题型
例
解:(1)因为AB=AC,∠ABC=35°,所以∠C=35°.
因为AE=CE,所以∠CAE=35°.
因为D是BC的中点,所以AD⊥BC,
所以∠ADC=90°,
所以∠DAC=180°-90°-35°=55°,
所以∠DAE=∠DAC-∠CAE=55°-35°=20°.
(2)证明:因为D是BC的中点,所以BD=CD.
因为∠AFE=∠AEF,所以AF=AE.
因为AD⊥BC,
所以D是EF的中点,
所以FD=ED,
所以BD-FD=CD-ED,即BF=CE.
变式训练　
1.解:(1)证明:因为BE平分∠ABC,
所以∠ABE=∠CBE,即∠FBE=∠CBE.
因为EF∥BC,
所以∠FEB=∠CBE,
所以∠EBF=∠FEB,
所以FB=FE.
(2)因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD⊥BC,∠ABD=∠C=36°,
所以∠ADB=90°,
所以∠BAD=90°-∠ABD=90°-36°=54°,
所以∠BAD的度数是54°.
2.解:(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C=60°.
因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=80°.
因为∠AED是△DEC的一个外角,
所以∠CDE=β=∠AED-∠C=20°,
所以∠ADC=∠ADE+∠CDE=100°.
因为∠ADC是△ABD的一个外角,
所以∠BAD=α=∠ADC-∠B=40°,
所以α的度数为40°,β的度数为20°.
(2)α=2β.
理由:设∠B=x°,∠ADE=y°.
因为AB=AC,
所以∠B=∠C=x°.
因为AD=AE,
所以∠ADE=∠AED=y°.
因为∠AED是△DEC的一个外角,
所以∠AED=∠CDE+∠C,
所以y=β+x.
因为∠ADC是△ABD的一个外角,
所以∠ADC=∠BAD+∠B,
所以∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B,
所以y+β=x+α,所以β+x+β=x+α,
所以α=2β.

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