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4.6 第1课时 线段的垂直平分线的性质
素养目标
1.经历探究垂直平分线的过程,理解垂直平分线的性质定理.
2.知道垂直平分线性质的逆定理,能判定一个点是否在线段的垂直平分线上.
3.能画出等腰三角形底边的垂直平分线,解决简单的几何问题.
重点
线段的垂直平分线的性质.
【自主预习】
1.线段的垂直平分线上一点到线段的两个端点的距离有什么关系
2.到线段的两个端点的距离相等的点在什么线上
1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的长为 (　　)
A.3 B.4 C.2 D.6
2.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的 (　　)
A.三条中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条角平分线的交点
【合作探究】
知识点一：线段的垂直平分线的性质1
阅读课本本课时“探究”及之前的内容,回答下列问题.
1.垂直且平分一条线段的　　　　叫作这条线段的　　　　线.线段是　　　　图形,线段的　　　　是它的对称轴.
2.(1)猜想:如图,在线段AB的垂直平分线CD上任意取一点P,由于PD是线段AB的对称轴,PA=PB吗
(2)如何证明PA=PB
已知CD是线段AB的垂直平分线,设O是垂足.
则有,
所以△AOP≌　　　　,可得PA=　　　　.
　　线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　　　　.
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,ED为AB的垂直平分线,则∠EBC的度数是 (　　)
A.50° B.40° C.30° D.70°
知识点二：线段的垂直平分线的性质2
阅读课本本课时“说一说”至“例1”的内容,回答下列问题.
1.回忆:写出线段的垂直平分线的性质的逆命题.
2.思考:线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题吗 如果是,如何证明
如图,PA=PB,过点P作PC⊥AB,垂足是C,则可证明△APC≌　　　　,从而可得PC　　　　AB.
　　到线段两端点距离相等的点在线段的　　　　上.
3.讨论:通过课本“例1”的学习,三角形两边垂直平分线的交点一定在第三边的垂直平分线上吗 这个点到三角形三个顶点的距离相等吗
　　三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个　　　　的距离　　　　.
2.如图,在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC.
求证:点E在线段AC的垂直平分线上.
线段的垂直平分线性质的综合应用
例　如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P.
(1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上.
(2)若∠FAN=56°,求∠FPN的度数.
变式训练　如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线MN交边AC于点D,交边BC于点E,连接BD.
(1)若CE=4,△ABD的周长为10,求△ABC的周长.
(2)若∠ADM=60°,∠ABD=20°,求∠A的度数.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.相等.
2.在线段的垂直平分线上.
自学检测
1.A　2.B
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.直线　垂直平分　轴对称　垂直平分线
2.(1)相等.
(2)BO　∠BOP　PO　△BOP　PB
归纳总结　相等
对点训练
1.C
知识点二
1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
2.△BPC　垂直平分
归纳总结　垂直平分线
3.在,相等.
归纳总结　顶点　相等
对点训练
2.证明:因为AD是高,所以AD⊥BC.
又因为BD=DE,
所以AD所在的直线是线段BE的垂直平分线,
所以AB=AE,
所以AB+BD=AE+DE.
又因为AB+BD=DC,
所以DC=AE+DE,
所以DE+EC=AE+DE,
所以EC=AE,
所以点E在线段AC的垂直平分线上.
题型精讲
题型
例
解:(1)证明:如图,连接BP,AP,PC.
因为PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,
所以PA=PB,PA=PC,
所以PB=PC,
所以点P在线段BC的垂直平分线上.
(2)因为PE⊥AB,PM⊥AC,
所以FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°,
所以∠B+∠BFE=∠C+∠MNC=90°.
设∠B=x,∠C=y,
所以∠B=∠BAF=x,∠C=∠CAN=y,∠BFE=90°-x,∠MNC=90°-y,
所以∠PFN=∠BFE=90°-x,∠PNF=∠MNC=90°-y.
因为∠B+∠C+∠CAB=180°,∠FAN=56°,
所以2x+2y+56°=180°,
整理得x+y=62°.
因为∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°,
所以90°-x+90°-y+∠FPN=180°,
所以∠FPN=180°-180°+(x+y)=62°.
变式训练　
解:(1)因为MN垂直平分BC,CE=4,
所以DC=DB,BE=CE=4,
所以BC=BE+CE=4+4=8.
因为△ABD的周长为10,
所以10=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC,
所以AB+AC+BC=10+8=18,
所以△ABC的周长为18.
(2)因为∠ADM=60°,∠ABD=20°,
所以∠CDN=∠ADM=60°.
因为MN垂直平分BC,
所以DC=DB,MN⊥BC,
所以∠BDN=∠CDN=60°,
所以∠BDC=∠BDN+∠CDN=60°+60°=120°,
所以∠A=∠BDC-∠ABD=120°-20°=100°,
所以∠A的度数为100°.

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