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4.6 第2课时 用尺规作线段的垂直平分线
素养目标
1.会用尺规作一条已知线段的垂直平分线.
2.会用尺规过直线上一点或直线外一点,作该直线的垂线.
3.会用尺规作一个角的平分线.
重点
用尺规作垂直平分线和角平分线.
【自主预习】
1.如何作线段的中点
2.点与直线有哪几种位置关系
1.用直尺和圆规作线段的垂直平分线,下列作法正确的是 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.观察图中尺规作图的痕迹,可知线段BD一定是 (　　)
A.△ABC的角平分线
B.△ABC的中线
C.△ABC的高线
D.AC边的垂直平分线
3.由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形,且AB=BC的是 (　　)
①　　②
③　　④
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【合作探究】
知识点一：段的垂直平分线的画法
阅读课本本课时“说一说”及“例2”的内容,回答下列问题.
1.回忆:线段的垂直平分线是一条直线,如何确定一条直线
2.思考:如何找到一条已知线段的垂直平分线上的两点 依据是什么
3.讨论:课本“例2”中的作法,可使得AC　　　　BC,AD　　　　BD,故点C与点D都是　　　　.
1.如图,AB是一条长途汽车经过的公路,C,D是公路旁的村庄,现在要在公路上设一个长途汽车站,要求这个汽车站到两个村庄的距离相等,请找出这个汽车站的位置.
知识点二：过一点作已知直线的垂线
阅读课本本课时“思考”的内容,回答下列问题.
1.思考:如果我们将过一点作已知直线垂线的问题转化为线段的垂直平分线的画法,同学们会作图吗
2.当点P在直线l上时,讨论:
(1)先用圆规在直线l上截取PA=PB,则点P是AB的　　　　,在线段AB的　　　　线上,还需要再找　　　　个线段AB垂直平分线上的点.
(2)分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧交于点C,则有AC　　　　BC,则点C在线段AB的　　　　上.
(3)用无刻度的直尺　　　　PC,作直线.
3.当点P在直线l外时,讨论:
(1)以点P为圆心,定长为半径,画弧交直线于A,B两点,则点P在线段AB的　　　　线上.
(2)仿照上面的问题,找到点C也在线段AB的　　　　上,过两点作直线即可.
·学法指导·
　　以上尺规作图的依据都是运用轴对称图形、垂直平分线的性质,在学习了全等三角形的证明之后,我们可以利用全等三角形验证其正确性.
2.如图,在△ABC中,∠B=40°.请利用尺规在边BC上求作一点P,使得∠BAP=50°.(保留作图痕迹,不写作法)
知识点三：已知底边和底边上的高作等腰三角形
阅读课本本课时“例3”的内容,回答下列问题.
1.思考:已知线段a,h,为了作出底边等于a,高等于h的等腰三角形.
(1)确定点B,C只要作线段BC=　　　　.
(2)为了确定点A,点A必须满足两个条件:在边BC的　　　　线上;到BC中点的距离等于　　　　.
2.归纳:用尺规作符合要求的三角形,即确定三角形的三个　　　　,再连线即可.其中底边较容易确定.确定　　　　需要思考其满足的条件,按需作图.
3.如图,已知线段a,b,求作等腰三角形,使高为a,腰长为b.(a知识点四：作一个角的平分线
阅读课本本课时“例4”的内容,回答下列问题.
1.思考:(1)为了作出已知∠AOB的平分线,点O　　　　该角平分线上,只要确定该角平分线上　　　　.
(2)课本作法中的第(1)步使得　　　　,第(2)步确定点C时,使得　　　　,再由公共边OC=CO,则可得到△OCD≌△OCE,理由是　　　　.可得∠AOC=∠BOC.
2.归纳:无论是作垂直平分线,还是作角平分线,关键在于确定线上满足要求的　　　　,常常用　　　　截取.
4.如图,下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法,其中不正确的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
作图的综合问题
例　如图,AM平分∠BAC,BC边的垂直平分线l分别交AC,BC,AM于点E,F,G.
(1)尺规作图:作BC的垂直平分线l,并标出点E,F,G(保留作图痕迹,不写作法).
(2)连接BE,若∠AGE=∠C,求证:AG垂直平分BE.
变式训练　如图,已知线段AB和射线AC,用不带刻度的直尺和圆规在射线AC上求作一点E,使得∠BAC=2∠ABE.(不写作法,保留作图痕迹)
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.作出该线段的垂直平分线,垂直平分线与该线段的交点即该线段的中点.
2.两种:点在直线上和点在直线外.
自学检测
1.C　2.C　3.C
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.由于两点确定一条直线,找到该直线上的两点,并连线即可.
2.运用垂直平分线的性质,到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3.=　=　线段AB垂直平分线上的点
对点训练
1.解:如图,连接CD,作线段CD的垂直平分线交直线AB于点O,点O便是长途汽车站的位置.
知识点二
1.会的.
2.(1)中点　垂直平分　1
(2)=　垂直平分线
(3)连接
3.(1)垂直平分
(2)垂直平分线
对点训练
2.解:如图,点P即所求.
知识点三
1.(1)a
(2)垂直平分　h
2.顶点　顶点
对点训练
3.解:如图,△ABC为所作.
知识点四
1.(1)在　另一个点
(2)OD=OE　DC=CE　边边边
2.点　圆规
对点训练
4.A
题型精讲
题型
例
解:(1)作图如图所示.
(2)证明:如图,设BE交AM于点D.
因为EF是BC的垂直平分线,
所以EB=EC,∠GFM=90°,所以∠EBC=∠C.
因为∠AGE=∠C,所以∠EBC=∠AGE.
因为∠GMF=∠BMD,
所以∠BDM=∠GFM=90°,
所以AG⊥BE,所以∠BDA=∠EDA=90°.
因为AM平分∠BAC,
所以∠BAD=∠EAD.
因为AD=AD,
所以△ABD≌△AED(角边角),
所以BD=ED,
所以AG垂直平分BE.
变式训练　
解:如图,点E为所求.

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