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第4章 三角形 复习课
复习目标
1.理解三角形的基本概念与边、角关系.
2.知道证明命题的依据,能用几何语言写出一个命题的证明过程.
3.知道全等图形的性质,会用几种不同的方法判定两个三角形全等.
4.知道等腰三角形、垂直平分线的性质,会用尺规作图.
重点
证明两个三角形全等,解决相关几何问题.
【体系构建】
【专题复习】
专题一：三角形的边角关系
例1　如果一个三角形的三边长都是自然数,且三边长之比是2∶3∶4,那么该三角形的周长不可能是 (　　)
A.18 cm B.19 cm
C.54 cm D.36 cm
变式训练　
1.一个三角形的两边长分别为6和10,且第三边的长为偶数,符合条件的三角形有 (　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.在三角形中,最多有　　　　个锐角,至少有　　　　个锐角,最多有　　　　个钝角(或直角).
3.已知一个三角形两边长分别为2 cm和6 cm,则第三边的长可以是　　　　cm.(写出一个符合条件的答案)
专题二：全等三角形的判定与性质
例2　如图,在△ABC中,AB=AC,F为BC延长线上一点,G为AC延长线上一点,FG∥AB.D,E分别是BF,AC上的点,DE是线段BF的垂直平分线.
(1)证明:∠AEB=∠GFE.
(2)证明:AE=CG.
变式训练　
1.如图,△ABC与△BDE都是等腰三角形,AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接AD,CE.求证:∠BAD=∠BCE.
2.如图,在△ABC中,D为边BC上一点,E为边BA上一点,且AE=CD,连接AD,F为AD的中点.连接EF并延长,交AC于点G,在FG上截取点H,使FH=FE,连接GD,DH,且HG=CG.
(1)求证:△AEF≌△DHF.
(2)求证:∠B=2∠GDC.
专题三：全等三角形的应用
例3　如图,公园有一条“Z”字形道路AB-BC-CD.其中AB∥CD,在E,M,F处各有一个小石凳,且BE=CF,M为BC的中点,连接EM,MF.
(1)石凳M到石凳E,F的距离ME,MF是否相等 判断并说明理由.
(2)E,F,M三点是否共线 请判断并证明.
变式训练　
1.在生物实验课上,老师布置了“测量锥形瓶底面内径”的任务.小亮同学想到了以下这个方案:如图,用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点O固定,利用全等三角形的性质,只要测得C,D之间的距离,就可知道内径AB的长度.此方案中,判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是 (　　)
A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边
2.如图,要测量河岸相对两点A,B间的距离,先从B点出发与AB成90°角方向,向前走25米到C点处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走25米到点D处,在点D处转90°沿DE方向走17米,到达点E处,使点A,C,E在同一直线上,那么可知点A、点B之间的距离为　　　　米.
专题四：等腰三角形
例4　如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线,AB=AC.
(1)若△ABC的面积是20,且BC=4,求AD的长.
(2)若∠CAD=20°,求∠ACE的度数.
变式训练　
1.如图,在△ABC中,M为BC上一点,AB=AM=MC,∠B=50°,则∠C的度数为 (　　)
A.25° B.30° C.35° D.40°
2.如图,已知P是射线ON上一动点,∠AON=40°,当∠A=　　　　时,△AOP为等腰三角形.
专题五：线段的垂直平分线
例5　如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点E,且AC=15 cm,△BCE的周长等于25 cm.
(1)求BC的长.
(2)若∠A=36°,并且AB=AC.求证:BC=BE.
变式训练　
1.如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接CD.若CE=1,△ACD的周长为5,则△ABC的周长为 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F,连接CF.若∠A=70°,∠ABD=25°,则∠ACF的度数是　　　　.
参考答案
【专题复习】
专题一
例1　B
变式训练　
1.D　2.3　2　1
3.答案不唯一,如5,6等
专题二
例2
证明:(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.
因为DE是线段BF的垂直平分线,
所以EB=EF,所以∠EBF=∠EFB.
因为∠ACB是△ECF的一个外角,
所以∠ACB=∠GEF+∠EFB.
因为∠ABC=∠ABE+∠EBF,
所以∠ABE=∠FEG.
因为AB∥FG,所以∠A=∠AGF,
所以180°-∠A-∠ABE=180°-∠AGF-∠FEG,
所以∠AEB=∠GFE.
(2)在△ABE和△GEF中,
所以△ABE≌△GEF(角角边),
所以AB=EG.
因为AB=AC,所以AC=EG,
所以AC-EC=EG-CE,
所以AE=CG.
变式训练　
1.证明:因为AB=BC,BD=BE,
所以∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.
由三角形内角和定理可知,∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,
∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE.
因为∠BAC=∠BDE,所以∠ABC=∠DBE.
因为∠ABD=∠ABC+∠CBD,∠CBE=∠DBE+∠CBD,
所以∠ABD=∠CBE.
在△ABD和△CBE中,
所以△ABD≌△CBE(边角边),
所以∠BAD=∠BCE.
2.证明:(1)因为F为AD的中点,
所以AF=DF.
在△AEF和△DHF中,
所以△AEF≌△DHF(边角边).
(2)因为△AEF≌△DHF,
所以∠EAF=∠HDF,AE=DH,
所以DH∥AB,所以∠HDC=∠B.
因为AE=CD,所以DH=CD.
在△DHG和DCG中,
所以△DHG≌DCG(边边边),
所以∠GDC=∠GDH,
所以∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC,
所以∠B=2∠GDC.
专题三
例3
解:(1)石凳M到石凳E,F的距离ME,MF相等.理由:因为AB∥CD,所以∠B=∠C.
又因为M为BC的中点,所以BM=MC.
在△BEM和△CFM中,
所以△BEM≌△CFM(边角边),
所以ME=MF.
即石凳M到石凳E,F的距离ME,MF相等.
(2)E,F,M三点共线.
证明:因为△BEM≌△CFM,
所以∠BME=∠CMF.
又∠BMF+∠CMF=180°,
所以∠BMF+∠BME=180°,
所以E,M,F在一条直线上.
变式训练　
1.B　2.17
专题四
例4
解:(1)因为AD是△ABC的中线,AB=AC,所以AD⊥BC.
因为△ABC的面积是20,且BC=4,所以BC·AD=20,
所以×4×AD=20,所以AD=10.
(2)因为AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
所以∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.
因为CE是△ABC的角平分线,
所以∠ACE=∠ACB=35°.
变式训练　
1.A
2.40°或70°或100°
专题五
例5
解:(1)因为AB的垂直平分线MN交AB于点D,
所以AE=BE,
所以△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC.
因为AC=15 cm,
所以BC=25-15=10(cm).
(2)证明:因为∠A=36°,AB=AC,
所以∠C=(180°-∠A)=(180°-36°)=72°.
因为AB的垂直平分线MN交AB于点D,
所以AE=BE,
所以∠ABE=∠A,
由三角形的外角性质得∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°,
所以∠BEC=∠C,
所以BC=BE.
变式训练　
1.C　2.35°

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