资源简介

5.2 第1课时 勾股定理的认识及证明
素养目标
1.通过动手体验,利用等面积法探索勾股定理.
2.运用勾股定理和转化思想,从方程的角度求直角三角形的边长.
3.通过猜想和运用数形结合的思想分析几何图形,解决求边长的问题.
重点
勾股定理在直角三角形中的应用.
【自主预习】
1.在直角三角形中,若斜边长为5,其中一条直角边长为3,则另一条直角边长为多少
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,写出AB,AC,BC满足的数量关系.
1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则AB的长为 (　　)
A.4 B. C. D.5
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(　　)
A.5 B.6 C.8 D.10
3.在△ABC中,∠C=90°.若a=2.4,b=3.2,则c=　　　　;若∠A=45°,c=18,则a=　　　　　　;若c=17,b=15,则△ABC的面积为　　　　.
【合作探究】
知识点一：认识勾股定理
阅读课本本课时“观察”中的内容,回答下列问题.
1.图5.2-2中的直角边是　　　　,斜边是　　　　.
2.在图5.2-2的Rt△ABC中,BC2=　　　　,AC2=　　　　,AB2=　　　　,而9+16=　　　　,所以BC2+AC2=　　　　.
1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=16,BC=12.
(1)求AC的长.
(2)若D是AC的中点,则BD的长为　　　.
知识点二：勾股定理的证明
阅读课本本课时“探究”至“做一做”的内容,回答下列问题.
1.本探究证明勾股定理的方法运用　　　　法.
2.两种不同的算法计算正方形ABCD的面积:
(1)直接利用正方形的面积公式求S正方形ABCD;
(2)组合求面积,即S正方形ABCD=S正方形EFGH-4S△ABE.
3.在直角三角形中,斜边大于　　　　.
　　直角三角形两直角边a,b的　　　　和等于斜边c的　　　　,即a2+b2=　　　　.
【温馨提示】勾股定理体现了直角三角形三边的数量关系,也就是说在直角三角形中,只要知道其中的两条边的长度,就可以求出　　　　的长度.
2.如图,这是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两直角边分别是a,b,且(a+b)2=15,大正方形的面积是9,则小正方形的面积是　　　　.
用等面积法证明勾股定理
例　【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,也被称为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
【实践操作】勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,图1、图2、图3是三种常见的证明方法,请你从中任选一种证明勾股定理(图中出现的直角三角形的大小和形状均相同).
【探索发现】如图4,以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形,请判断S1,S2,S3的数量关系并说明理由.
变式训练　学习勾股定理之后,同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法:如图1,B是正方形ACDE边CD上一点,连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF的位置,如图2所示,该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.
图1　　图2
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.另一条直角边长为4.
2.AB2+AC2=BC2.
自学检测
1.C　2.C
3.4　9　60
【合作探究】
知识点一
1.AC,BC　AB
2.9　16　25　25　AB2
对点训练
1.解:(1)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=16,BC=12,
所以AC===20.
(2)10.
知识点二
1.等面积
3.任一直角边
归纳总结　平方　平方　c2
温馨提示　第三边
对点训练
2.3
题型精讲
题型
例
解:【实践操作】证明:在题图1中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,
即c2=ab×4+(b-a)2,
整理得a2+b2=c2.
如图1,连接MN.
则梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和,
即(a+b)(a+b)=ab×2+c2,
整理得a2+b2=c2.
在题图3中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,
即(a+b)2=c2+ab×4,
整理得a2+b2=c2.
【探索发现】S1+S2=S3.
理由:设S3所在的等边三角形为△ABC.
如图2,过点A作AD⊥BC于点D,
则∠BAD=30°,∠ADB=90°,
所以BD=AB,
所以AD==AB,
所以S3=c·c=c2.
同理,S2=b·b=b2,S1=a·a=a2,
所以S1+S2=a2+b2=(a2+b2).
因为a2+b2=c2,
所以S1+S2=S3.
变式训练　
证明:如图,连接BF.
因为AC=b,
所以正方形ACDE的面积为b2.
因为CD=DE=AC=b,EF=BC=a,AB=AF=c,
所以BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b.
因为∠CAE=90°,
所以∠BAC+∠BAE=90°.
因为∠BAC=∠EAF,
所以∠EAF+∠BAE=90°,
所以△BAF为等腰直角三角形,
所以四边形ABDF的面积为c2+(b-a)(a+b)=c2+(b2-a2).
因为正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等,
所以b2=c2+(b2-a2),
所以b2=c2+b2-a2,
所以a2+b2=c2,
所以a2+b2=c2.

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