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5.2 第2课时 勾股定理的应用
素养目标
1.结合实际,利用勾股定理解决求直角三角形的边长问题.
2.在应用过程中掌握“转化”思想,在没有直角三角形的图形中,通过构造出直角三角形再运用勾股定理解决实际问题.
重点
运用勾股定理解决实际问题.
【自主预习】
1.在直角三角形中,两条直角边的长都为1,则斜边有多长
2.在数轴上表示实数的点.
1.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行(　　)
A.7米 B.8米
C.9米 D.10米
2.如图,一架梯子斜靠在墙上,梯子顶端与墙角的距离AC为4米,梯子的长为5米,则梯子底端与墙角的距离BC为　　　　米.
3.如图,长为24 cm的橡皮筋水平放置,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升16 cm至点D,则橡皮筋被拉长了　　　　cm.
【合作探究】
知识点：勾股定理的应用
阅读课本本课时的全部内容,回答下列问题.
1.“思考”中梯子的底部从点C移到点C',则梯子的顶部从点A移到点　　　　.所以梯子底部移动的距离是线段CC'的长,而顶部移动的距离是线段　　　　的长.
2.图5.2-8中的直角三角形有两个,分别是　　　　和　　　　,梯子的长是两个直角三角形的斜边　　　　和　　　　,它们的长度　　　　,所以两个直角三角形的两直角边的平方和　　　　.
3.“例3”解决的是已知一边B'C,并且能找出另外两边AB',AC之间的关系　　　　,这样,只要设　　　　个未知数,根据　　　　即可得出方程,并解决问题.
　　在斜边长不变的两个直角三角形中,两直角边的平方和　　　　.
1.如图,这是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°.警示牌的高CD为　　　　米.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73)
2.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险 是否需要暂时封锁 请通过计算进行说明.
【方法归纳】本题的条件中含有60°,90°两个特殊角,但这两个特殊角都没有在直角三角形中,因此我们就用这两个特殊角构造一个或多个　　　　三角形,以便用　　　　定理去求相应边长.
方程思想在勾股定理中的应用
例　如图,铁路上A,B两站相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路AB上建一个货运站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少千米处
变式训练　(数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何 ”大意:如图,木柱AB⊥BC,绳索AC比木柱AB长3尺,BC长8尺,求绳索AC的长.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1..
2.
自学检测
1.D　2.3　3.16
【合作探究】
知识生成
知识点
1.A'　AA'
2.Rt△ABC　Rt△A'BC'　AC　A'C'　相等　相等
3.AC=AB-BC=AB'-AC　一　勾股定理
归纳总结　相等
对点训练
1.2.9
2.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.因为BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,所以根据勾股定理得AB=500米.因为AB·CD=BC·AC,所以CD=240米.因为240米<250米,所以有危险,所以AB段公路需要暂时封锁.
【方法归纳】
直角　勾股
题型精讲
题型
例
解:因为C,D两村到E站的距离相等,所以DE=CE.
因为DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,
所以∠A=∠B=90°,
所以AE2+DA2=DE2,BE2+CB2=CE2,
所以AE2+DA2=BE2+CB2,设AE=x km,则BE=AB-AE=(25-x)km.
因为DA=15 km,CB=10 km,
所以x2+152=(25-x)2+102,
解得x=10,所以AE=10 km.
答:E站应建在离A站10 km处.
变式训练　
解:设AC=x尺,则AB=(x-3)尺.
因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°,
所以△ABC是直角三角形.
由勾股定理得AB2+BC2=AC2,
即(x-3)2+82=x2,
解得x=,即绳索AC的长为尺.

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