资源简介

5.3 直角三角形全等的判定
素养目标
1.结合图形,利用“斜边、直角边”判定两直角三角形全等.
2.根据直角三角形全等的知识去作相应的几何图形.
3.综合应用直角三角形全等的判定证明线段或角相等.
重点
理解并使用“斜边、直角边”判定两直角三角形全等解决实际问题.
【自主预习】
1.判定两个三角形全等的方法有哪些
2.说一说全等三角形的性质.
1.如图,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD=OP,则△AOD与△AOP全等的理由是 (　　)
A.边边边 B.角边角
C.边边角 D.斜边、直角边
2.如图,∠ACB=∠DBC=90°,要根据“斜边、直角边”证明Rt△ABC≌△DCB,应添加的条件是　　　　.
3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE=　　　　cm.
【合作探究】
知识点一：直角三角形全等的判定定理“斜边、直角边”
阅读课本本课时“例1”之前的内容,回答下列问题.
1.在这两个三角形中,已知条件中的两边一角　　　　(填“是”或“不是”)“边角边”判定,所以　　　　(填“能”或“不能”)判定这两个三角形全等.
2.由于已知　　　　对应相等,根据勾股定理可得　　　　也相等,所以根据“　　　　”可以判定这两个三角形全等.
　　直角三角形全等的判定定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形　　　　(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
1.如图,已知AD是BE的垂直平分线,且AB=DE.求证:∠B=∠E.
知识点二：直角三角形“斜边、直角边”判定定理的应用
阅读课本本课时“例1”和“例2”的内容,回答下列问题.
1.“例1”中有　　　　个直角三角形,BE,CD分别是　　　　,　　　　的边,在这两个三角形中,还有　　　　边相等,根据“　　　　”可得这两个三角形全等.
2.“例2”已知　　　　个条件,分别是一直角边、斜边,还有隐含条件　　　　,所以画图第一步先作出　　　　,然后再作　　　　,最后作　　　　,即可作出符合要求的图形.
2.如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别是C,D,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:CE=DF.
【方法归纳】证明直角三角形全等可利用的判定方法有　　　　,但是在运用“斜边、直角边”时实际上只要满足　　　　个条件即可,但还是不能忽略“在　　　　三角形中”的前提条件.
利用“斜边、直角边”判定定理解决问题
例　如图,已知CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,且CE=CF,BC=CD.
(1)求证:△BCE≌△DCF.
(2)若AE=2,求AB+AD的值.
变式训练　如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.
(2)若∠CAE=22°,求∠ACF的度数.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.边角边,角边角,角角边,边边边,斜边、直角边.
2.对应角相等,对应边相等,周长、面积相等.
自学检测
1.D
2.AB=CD
3.7
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.不是　不能
2.斜边和一条直角边　第三条边长　边边边
归纳总结　全等
对点训练
1.证明:因为AD是BE的垂直平分线,所以BC=EC,∠ACB=∠DCE=90°,
所以△ABC和△DEC都是直角三角形.
又因为AB=DE,
所以Rt△ABC≌Rt△DEC(斜边、直角边),所以∠B=∠E.
知识点二
1.4　△BCE　△CBD　公共　斜边、直角边
2.三　一个角是直角　直角　直角边　斜边
对点训练
2.证明:在Rt△ACB与Rt△BDA中,
所以Rt△ACB≌Rt△BDA(斜边、直角边),所以∠CAB=∠DBA,AC=BD,
所以在Rt△CAE与Rt△DBF中,
所以△CAE≌△DBF(角角边),所以CE=DF.
【方法归纳】
“边角边”“角边角”“角角边”“边边边”“斜边、直角边”
两　直角
题型精讲
题型
例
解:(1)证明:因为CE⊥AB,CF⊥AD交AD的延长线于点F,
所以∠CEB=∠CFD=90°,
所以△BCE,△DCF,△ACE,△ACF都是直角三角形.
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
所以Rt△BCE≌Rt△DCF(斜边、直角边).
(2)在Rt△AEC和Rt△AFC中,
所以Rt△AEC≌Rt△AFC(斜边、直角边),
所以AE=AF.
由(1)知,Rt△BCE≌Rt△DCF,
所以BE=DF,
所以AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AE=2AE=2×2=4,
即AB+AD的值为4.
变式训练　
解:(1)证明:因为∠ABC=90°,
所以∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
所以Rt△ABE≌Rt△CBF(斜边、直角边).
(2)因为AB=BC,∠ABC=90°,
所以∠CAB=∠ACB=45°,
所以∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-22°=23°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,
所以∠BCF=∠BAE=23°,
所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68°.

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