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5.4 第1课时 角平分线的性质定理及逆定理
素养目标
1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理的简单应用.
2.掌握作已知角的平分线的方法.
重点
角平分线的性质定理及其逆定理的应用.
【自主预习】
1.如图,∠AOB=50°,OC平分∠AOB,则∠AOC为多少度
2.如图,PM⊥OA,PM=7,当点P到OB的距离为多少时,OP为∠AOB的平分线
1.如图,OC平分∠AOB,在OC上取一点P,过点P作PQ⊥OB于点Q,若PQ=4 cm,则
点P到OA的距离为 (　　)
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
2.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 (　　)
A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=10,DE=4,则BD的长为　　　　.
【合作探究】
知识点一：角平分线的性质定理
阅读课本本课时“思考”之前的内容,回答下列问题.
1.角平分线是一条　　　　,它把这个角分成两个相等的角.
2.通过折叠后,对应相等的线段有　　　　=　　　　,　　　　=　　　　,相等的角有∠　　　　=∠　　　　,∠　　　　=∠　　　　.
3.P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD,PE是　　　　;在这两个三角形中有　　　　对应相等,所以△PDO≌△PEO,依据是　　　　判定定理.
　　角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的　　　　相等.
1.在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
(1)如图1,若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BDC的度数.
(2)如图2,连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=1,AC=4,求△ADC的面积.
知识点二：角平分线的性质定理的逆定理
阅读课本本课时“思考”至“例1”的内容,回答下列问题.
1.点到直线的距离是指过这点向这条直线所作的　　　　的长.
2.角的内部到角的两边距离相等的点有　　　　个,这样的点都　　　　上.
3.由PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E说明PD,PE就是点P到　　　　,同时
可以得出两个直角相等,结合题目中的隐含条件　　　　,根据　　　　判定定理可得Rt△PDO≌Rt△PEO,得出结论.
　　角平分线的性质定理的逆定理:角的内部到角的两边　　　　相等的点在角的　　　　上.
2.如图,这是一个风筝骨架.为使风筝平衡,须使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,那么PC和PD应满足　　　　,才能保证OP为∠AOB的平分线.
角平分线的性质定理与逆定理的综合
例　如图,在△ABC中,BP,CP分别是△ABC的外角的平分线.求证:∠1=∠2.
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　　(1)角的平分线性质的应用涉及角平分线上的点到角的两边的距离,因此每一个角需要构造两条垂线,所以过点P作PE　　　　AB,PG　　　　AC,PF　　　　BC.
　　(2)由PE⊥AB,PF⊥BC得出:　　　　.由PG⊥AC,PF⊥BC得出:　　　　.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.25°.
2.7.
自学检测
1.B　2.B　3.6
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.射线
2.PD　PE　OD　OE　AOC　BOC　DPO　EPO
3.垂线段　两角一边　角角边
归纳总结　距离
对点训练
1.解:(1)因为BD平分∠ABC,
所以∠DBC=∠ABC=×60°=30°.
因为CD平分∠ACB,
所以∠DCB=∠ACB=×40°=20°,
所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB
=180°-30°-20°=130°.
(2)如图,过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H.
因为BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,
所以DH=DE=1.
因为CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,
所以DF=DH=1,
所以S△ADC=DF·AC=×1×4=2.
知识点二
1.垂线段
2.无数　在一条射线
3.角两边的距离　公共边　斜边、直角边
归纳总结　距离　平分线
对点训练
2.PC=PD
题型精讲
题型
例
(1)⊥　⊥　⊥
(2)PE=PF　PF=PG
证明:如图,过点P作PE⊥AB于点E,PG⊥AC于点G,PF⊥BC于点F.
因为P在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PF⊥BC,所以PE=PF.同理可证PF=PG,所以PG=PE.又PE⊥AB,PG⊥AC,所以PA是∠BAC的平分线,所以∠1=∠2.

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