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5.4 第2课时 角平分线的性质定理及逆定理的应用
素养目标
1.掌握角平分线的性质定理和逆定理的综合应用.
2.利用角平分线的性质定理和逆定理解决线段相等及作图等问题.
重点
角平分线的性质定理和逆定理的综合应用.
【自主预习】
1.说一说角平分线的性质定理.
2.在三角形中有多少条角平分线 这些角平分线是否会交于一点
1.如图,P是△ABC内一点,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,PD=PE,则 (　　)
A.点P在∠A的平分线上
B.点P在∠B的平分线上
C.点P在∠C的平分线上
D.P是∠A,∠B,∠C平分线的交点
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积为 (　　)
A.2 B.4 C.8 D.10
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB,如果BE=3 cm,DE=2 cm,那么AC=　　　　cm.
【合作探究】
知识点一：角平分线的性质定理及逆定理的应用
阅读课本本课时“例2”之前的内容,回答下列问题.
1.由EF⊥AB,MN⊥AC可知,点M到AB,AC的距离分别是　　　　,即它们是点M到∠　　　　两边的距离,增加条件　　　　即可使点M在∠　　　　的平分线上.
2.由MN⊥AC,EF⊥CD可知,点M到AC,CD的距离分别是　　　　,即它们是点M到∠　　　　两边的距离,增加条件　　　　即可使点M在∠　　　　的平分线上.
3.因为M是EF的中点,所以　　　　,所以只要增加条件　　　　,即可使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线,　　　　是∠ACD和∠CAB的公共边;△AMC是　　　　三角形,S△AMC=　　　　S梯形AFEC.
1.如图,点B,C在∠A的两边上,且AB=AC,P为∠A内部一点,PB=PC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:PE=PF.
知识点二：与角平分线有关的作图
阅读课本本课时“做一做”的内容,回答下列问题.
1.点P要到三边AB,BC,CA的距离相等,也就是到任意　　　　的距离相等,所以只要找到一点到AB,BC的距离相等,同时到BC,CA的距离也相等,所以只要作两个角的平分线即可.
2.通过作图,连接CP,我们可以看出,S△ABC=S△ABP+　　　　+　　　　.
　　三角形中任意两条角平分线的　　　　,也在第三个角的平分线上.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中,正确的个数是 (　　)
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.
A.1 B.2 C.3 D.4
角平分线的作图与应用
例　(超市选址与角平分线)如图,三条公路l1,l2,l3两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,可供选择的地方有多少处 你能在图中找出来吗
变式训练　如图,在四边形ABCD中,BC=DC,请用尺规作图法,在四边形ABCD的AB边上求作一点E,使S△BCE=S△DCE.(保留作图痕迹,不写作法)
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.3条,会.
自学检测
1.B　2.A　3.5
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.MF,MN　BAC　MN=MF　BAC
2.MN,ME　ACD　MN=ME　ACD
3.ME=MF　MN=MF(或MN=ME)
AC　直角　
对点训练
1.证明:如图,连接AP,
在△ABP和△ACP中,
所以△ABP≌△ACP(边边边),
所以∠BAP=∠CAP.因为PE⊥AB,PF⊥AC,所以PE=PF.
知识点二
1.两边
2.S△APC　S△BPC
归纳总结　交点
对点训练
2.D
题型精讲
题型
例
解:三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等;∠ACB,∠ABC的外角平分线交于一点,利用角的平分线的性质和判定定理,可以得到此点也在∠CAB的平分线上,且到公路l1,l2,l3的距离相等;同理还有∠BAC,∠BCA的外角平分线的交点;∠BAC,∠CBA的外角平分线的交点,因此满足条件的点共有4个.
作法:(1)如图所示,作出△ABC两内角∠BAC,∠ABC的平分线的交点O1.
(2)分别作出∠ACB,∠ABC的外角平分线的交点O2,∠BAC,∠BCA的外角平分线的交点O3,∠BAC,∠CBA的外角平分线的交点O4,故满足条件的修建点有四处,即点O1,O2,O3,O4处.
变式训练　
解:如图,点E即所求.

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