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第5章 直角三角形 复习课
复习目标
1.全面准确把握本章的知识体系.
2.综合直角三角形的性质与判定解决实际问题.
3.能利用勾股定理及其逆定理解决直角三角形中求相关线段长度的问题.
4.角平分线性质定理及其逆定理的综合应用.
重点
直角三角形的性质和判定,勾股定理及其逆定理,角平分线的性质与判定在解决实际问题中的作用.
【体系构建】
请你画出本章知识结构图,然后与下图对照比较.
【专题复习】
专题一：直角三角形的性质
例1　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AP平分∠BAC交BD于点P.
(1)求∠APD的度数.
(2)若∠BDC=58°,求∠BAP的度数.
变式训练　
1.如图,在△ADE与△BFC中,点B在AE上,点A在FC上,且∠F=30°,∠E=45°,∠D=90°,则∠ABF的度数为(　　)
A.30° B.15° C.60° D.25°
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD,AC于点F,E.
(1)若∠CEF=62°,求∠A的度数.
(2)证明:∠CFE=∠CEF.
专题二：勾股定理及其逆定理
例2　如图,在正方形ABCD中,E是BC上一点,且BC∶EC=4∶1,F是DC的中点.
(1)判断△AEF的形状,并说明理由.
(2)若正方形的边长为4,求△AEF的面积.
变式训练　
1.以直角三角形的三边为边向外作正方形,其中两个正方形的面积如图所示,则正方形A的边长为(　　)
A.6 B.36 C.64 D.
2.若8,a,17是一组勾股数,则a=　　　　.
3.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,已知小巷的宽度CE是2.2米.一架梯子AB斜靠在左墙时,梯子顶端A与地面点C的距离是2.4米.如果保持梯子底端B位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端D与地面点E的距离是2米.求此时梯子底端B到右墙角点E的距离.
专题三：直角三角形全等
例3　在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)如图1,若B,C在DE的同侧且AD=CE.求证:AB⊥AC.
(2)如图2,若B,C在DE的两侧,且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗 若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
变式训练
1.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“斜边、直角边”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加的一个条件是 (　　)
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
2.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,CF=AE,BC=DA.求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.
专题四：角平分线的性质定理与逆定理
例4　如图,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
变式训练　
1.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AB=8 cm,AC=6 cm,则S△ABD∶S△ACD=　　　　.
2.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AC=AD.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠CAB的平分线AM,交BC于点M.(保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)的条件下,连接DM,试猜想CM与DM的数量关系,并证明你的猜想.
专题五：直角三角形性质的综合应用
例5　如图,有两条公路OM,ON相交成30°角,沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时,在以点P为圆心,50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若一重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离.
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.
变式训练　
1.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了　　　　米.
2.【问题背景】
著名的赵爽弦图如图1所示,其中四个直角三角形较长的直角边长都为a,较短的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4×ab+(a-b)2,由
此推导出勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
图1　图2　图3
【探索求证】
(1)勾股定理有很多证明方法,如图2,Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示的位置放置,连接CD,其中∠A=∠B=∠DEC=90°,请你利用图2推导勾股定理.
【问题解决】
(2)如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=2.4千米,HB=1.8千米,问新路CH比原路CA少多少千米
【延伸扩展】
(3)在第(2)问中,若AB≠AC,CH⊥AB,AC=5,BC=6,AB=7,设AH=x,求x的值.
参考答案
【体系构建】
互余　中线　互余　“边角边”　“角边角”　“角角边”
“边边边”　“斜边、直角边”　相等
【专题复习】
专题一
例1
解:(1)因为∠C=90°,所以∠ABC+∠BAC=90°,
所以(∠BAC+∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC,AP平分∠BAC,所以∠BAP+∠ABP=∠BAC+∠ABC=(∠BAC+∠ABC)=45°,
所以∠APD=∠BAP+∠ABP=45°.
(2)因为∠BDC=58°,所以∠DBC=90°-∠BDC=32°.
因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=32°,所以∠BAP=∠APD-∠ABD=45°-32°=13°.
变式训练　
1.B
2.解:(1)因为∠CEF=62°,∠ACB=90°,
所以∠CBE=28°.
因为BE平分∠ABC,
所以∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°,
所以∠A=180-∠ACB-∠ABC=34°.
(2)证明:如图,因为∠ACB=90°,所以∠1+∠3=90°.
因为CD⊥AB,所以∠2+∠4=90°.
又因为BE平分∠ABC,
所以∠1=∠2,所以∠3=∠4.
因为∠4=∠5,所以∠3=∠5,
所以∠CFE=∠CEF.
专题二
例2
解:(1)△AEF是直角三角形.理由如下:设正方形的边长为4a,因为F是DC的中点,所以DF=CF=2a.因为BC∶EC=4∶1,所以EC=a,BE=4a-a=3a.
在Rt△ADF中,AF2=(4a)2+(2a)2=20a2,在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,在Rt△ABE中,AE2=(4a)2+(3a)2=25a2,所以AF2+EF2=AE2,所以△AEF是直角三角形.
(2)正方形的边长为4时,4a=4,a=1,AF==2,EF=,△AEF的面积=AF·EF=×2×=5.
变式训练　
1.D　2.15
3.解:设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米,则BC为(2.2-x)米,
由题意可知AC=2.4米,DE=2米,AB=DB,
在Rt△ABC和Rt△DBE中,由勾股定理得AB2=BC2+AC2,DB2=BE2+DE2,
所以BC2+AC2=BE2+DE2,
即(2.2-x)2+2.42=x2+4,
解得x=1.5.
答:此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米.
专题三
例3
解:(1)证明:因为BD⊥DE,CE⊥DE,
所以∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
所以Rt△ABD≌Rt△CAE(斜边、直角边),
所以∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
因为∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,
所以∠BAD+∠CAE=90°,
所以∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°,
所以AB⊥AC.
(2)仍垂直.
理由:同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,
所以∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
因为∠CAE+∠ECA=90°,
所以∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,
所以AB⊥AC.
变式训练　
1.D
2.证明:在Rt△ADC与Rt△CBA中,
所以Rt△ADC≌Rt△CBA(斜边、直角边),
所以DC=BA.
又因为BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
所以∠AEB=∠CFD=90°.
在Rt△ABE与Rt△CDF中,
所以Rt△ABE≌Rt△CDF(斜边、直角边).
专题四
例4
解:(1)证明:因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB.因为锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,所以∠BEC=∠BDC=90°.
因为∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°,所以∠ABC=∠ACB,所以AB=AC,所以△ABC是等腰三角形.
(2)如图,连接AO并延长,交BC于点F,因为AB=AC,OB=OC,AO=AO,所以△ABO≌△ACO,
所以∠BAF=∠CAF,
所以点O在∠BAC的平分线上.
变式训练　
1.4∶3
2.解:(1)如图,AM为所求.
(2)CM=DM.
证明:如图,连接DM.因为AM是∠CAB的平分线,
所以∠BAM=∠CAM.
在△MAC和△MAD中,
所以△MAC≌△MAD(边角边),
所以CM=DM.
专题五
例5
解:(1)如图,过点A作AD⊥ON于点D,因为∠NOM=30°,AO=80米,所以AD=40米,即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米.
(2)由图可知,以点A为圆心,50米长为半径画圆,分别交ON于B,C两点,AD⊥BC于点D,BD=CD=BC,OA=80米.因为在Rt△AOD中,∠AOB=30°,所以AD=OA=×80=40(米),在Rt△ABD中,AB=50,AD=40,由勾股定理得BD===30(米),故BC=2×30=60(米),即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响.因为重型运输卡车的速度为18千米/时,即=300(米/分),所以重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2(分).
答:卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟.
变式训练　
1.9
2.解:(1)S梯形ABCD=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2,
S梯形ABCD=S△ADE+S△CBE+S△CDE=ab+ab+c2,
所以ab+ab+c2=a2+ab+b2,
即a2+b2=c2.
(2)设AC=AB=x千米,则AH=(x-1.8)千米,
在Rt△ACH中,由勾股定理得x2=2.42+(x-1.8)2,
解得x=2.5,即CA=2.5千米,
所以CA-CH=0.1(千米),
所以新路CH比原路CA少0.1千米.
(3)由AH=x,得BH=7-x,
在Rt△ACH中,由勾股定理得CH2=CA2-AH2,
在Rt△BCH中,由勾股定理得CH2=CB2-BH2,
所以52-x2=62-(7-x)2,
解得x=.

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