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高三九月学情调研数学参考答案
1．A
【详解】因为 ，则 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
2．B
【详解】设 ，则 ，
由 ，可得 ，化简得 ，
从而 ，即 ，所以 ， 的虚部为 .
故选：B.
3．B
【详解】由 ，当 时，可得 ；
当 ，不能得到 ，所以充分性不成立；
反之：由 ，可得 ，
根据不等式的基本性质，可得 成立，所以必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B．
4．A
【详解】由题意 都有 ，可知函数 的图象的对称中心为
，由函数 可得 ，
解得 ，又 ，
， .
故选：A
5．B
【详解】设 ，由图可知
，
1
则 ，解得 .
故选：B.
6．D
【详解】设 ，
因为 的值域为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
即 ，解得： 且 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
7．B
【详解】如图，作 FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
因为 EF 与平面 ABCD 的距离为 2，
所以四棱锥 F-NBCM 的高为 2，
所以 V 四棱锥 F-NBCM= SNBCM
V 棱柱 ADE-NMF=S 直截面
所以该刍甍的体积为 V=V 四棱锥 F-NBCM+V 棱柱 ADE-NMF= .
故选：B
8．A
【详解】由题意有 ，
由 的图象先向左平移 个单位长度，然后再向下平移 1 个单位长度，
得到函数 ，
故 ，
2
所以 ， ， ，由于 ，所以 ．
故选：A.
9．CD
【详解】对于 A， ，注意前者是零向量，后者是实数 0，故
A 错误；
对于 B，注意向量相等时，向量所在直线互相平行或重合，
因此当 时， ， 四点可能在一条直线上，故 B 错误；
对于 C，空间中的任意两个非零向量都可以平移到同一起点，
则这两个向量可以是共面向量,故 C 正确；
对于 D，若“ ， 不共线”，有 四点共面，
若“ ， 共线”，则 四点在同一直线上，则有 四点共面，
故 D 正确．
故选：CD.
10．AD
【详解】因为 ，所以 的图象关于直线 对称，A 正确．
，B 不正确．
由 ，得 ，则 ，C 不正确．
由 ，得 ，则 ，
即 ，所以 两个相邻的零点之差的绝对值为 ，D 正确．
故选：AD.
11．ACD
【详解】对于 A，如图所示，
将正方形 沿着 展与平面 重合，在直角 中，可得
，
将 沿着 展开到与平面 重合，
在直角 中，可得 ，故 A 正确；
3
对于 B，如图所示，
连接 ，
因为 为 的中点，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以过点 的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形 ，
其中 ，且 ，
则等腰梯形 高为 ，
所以等腰梯形 的面积为 ，故 B 错误；
对于 C，如图所示：
取 的中点 ，连接 ，因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ，可得 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
在直角 中，由 ，可得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆在正方形 内的部分，
如图所示，
4
，
在直角 中，由 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
即当 时，点 M 的轨迹长度为 ，故 C 正确；
对于 D，以 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得 ，设 ，其中 ， ，
则 ，
因为 与 垂直，可得 ，即 ，
令 ，可得 ；当 ，可得 ，
即直线 与正方形 的边的交点为 ，
可得 ，故 D 正确.
故选：ACD.
12．
【详解】由 可得 ，
故当 时， ，
故 在点 处的切线的斜率为 ，
故答案为：
5
13．8cm2
【详解】设直角三角形的两条直角边的长度分别为 ，则 ，
直角三角形的面积 ，取等条件为 ，
故直角三角形面积的最大值为 .
故答案为：
14．
【详解】由题意得从 3 名男生和 4 名女生中选出 3 人共有 种情况，
其中男、女生都有的情况有 种，
所以选出的志愿者中，男、女生都有的概率为 ，
故答案为： .
15．(1) ， (2)
【详解】（1）因为
，
故数 的最小正周期 ，
所以 ，则 ，
故函数 的值域为 .
（2）由 ，得
又因为 为锐角，所以 ，
，所以 ，
所以
6
16．(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数 ，因函数 的图象与 的图象关于直线 对称，
则 ，
故函数 的解析式为 .
（2）由（1）知， ，恒有 ，
若 ，则 ， ，而 ，因此 ；
若 ，则 ， ， ，因此 ，
综上，可得 .
17．(1)见解析
(2)①见解析；②
【详解】（1）因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
且 是等腰直角三角形， ，点 是 的中点，
所以 ，所以 平面 ，且 平面 ，
所以 ；
（2）①因为 是等边三角形，且点 是 的中点，
所以 ，
如图，以点 为原点， 为 轴的正方向建立空间直角坐标系， ，
， ， ，
设 ，
由条件可知， ，
所以 ，
解得： ，即 ，
7
所以点 在平面 内；
② ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量 ，
设 与平面 所成角为 ，
所以 .
18．(1)有 的把握认为喜欢旅游与性别有关
(2)分布列见解析，
【详解】（1）因为 ，
所以有 的把握认为喜欢旅游与性别有关.
（2）由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为 ，
由题意可知： ， 的可能取值为 0,1,2.
所以 ，
，
，
所以 的分布列为：
8
所以 （或者 ）.
19．(1)4x﹣y+2＝0
(2)答案见解析
(3)（0，2）∪（2，+∞）
【详解】（1）函数 f（x）的定义域为（0，+∞），当 a＝2 时， ，
导数为 4 ，
可得 f（x）在 x＝1 处的切线的斜率为 4，又 f（1）＝6，
所以 f（x）在 x＝1 处的切线的方程为 y﹣6＝4（x﹣1），即 4x﹣y+2＝0；
（2）f（x）的导数为 f′（x） a2 ，x＞0，
令 f′（x）＝0，可得 x （ 舍去），
①当 0 10，即 a 时，当 0＜x 时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当 x＜10 时，f′（x）＞0，f（x）递增．
所以 f（x）在（0， ）上递减，在（ ，10）上递增，
f（x）在 x 处取得极小值 ，无极大值；
②当 10 即 0＜a 时，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上递减，无极值．
综上可得，当 a 时，f（x）在（0， ）单调递减，在（ ，10）上单调递增，
f（x）在 x 时取得极小值 ，无极大值．
当 0＜a 时，f（x）在区间（0，10）上递减，无极值；
（3）存在 x∈（0，+∞），使得不等式 f（x）＜2+a2x 成立
等价为存在 x∈（0，+∞），使得不等式 alnx﹣2＜0 成立．
令 ，x＞0，g′（x） ，
因为 a＞0，可得当 0＜x 时，g′（x）＜0，g（x）递减；当 x 时，g′（x）＞0，g（x）
递增，
所以当 x 时，g（x）取得极小值，且为最小值 ，
由题意可得 ，
9
令 ， ，
令 h′（x）＝0，可得 x＝2，
当 x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当 x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减．
所以当 x＝2 时，h（x）取得极大值，且为最大值 h（2）＝0．
所以满足 的实数 a 的取值范围是（0，2）∪（2，+∞）．
1026 届睢宁中学高三九月学情调研数学试题
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设函数 ，对 都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知 和 交于点 E，若 ，
则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.
甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底
面是边长为 2 的正方形，上棱 ，EF//平面 ABCD，EF 与平面 ABCD
的距离为 2，该刍甍的体积为（ ）
A．6 B． C． D．12
1
8．已知函数 ，将 的图象先向左平移 个单位长度，然后
再向下平移 1 个单位长度，得到函数 的图象，若 图象关于 对称，则 为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知 是空间中任意五点，则
B．若向量 ， 满足 ，则
C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共
面向量
D．若 ，则 四点共面
10．已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B．为了得到函数 的图象，可将 的图象向右平移 个单位长度
C． 在 上的值域为
D． 两个相邻的零点之差的绝对值为
11．如图，正方体 棱长为 2，P、Q 分别是棱 棱 的中点，点 M 是其侧面
上的动点 (含边界)，下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点 A 到点 P 的最短距离为
B．过点 A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当 时，点 M 的轨迹长度为
D．保持 PM 与 垂直时，点 M 的运动轨迹长度为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
2
12．曲线 在点 处的切线的斜率是 .
13．若直角三角形斜边长等于 4 cm，则直角三角形面积的最大值为 ．
14．某校要从 3 名男生和 4 名女生中选出 3 人担任某赛事的志愿者工作，每个人被选中的可
能性相同.在选出的志愿者中，男生和女生都有的概率为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（13 分）．已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期以及函数 在 上的值域；
(2)已知 为锐角，且 ，求 的值.
16．（15 分）已知函数 ，且函数 的图象与 的图象关于直线 对称.
(1)求 的解析式； (2)证明： .
17．（15 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，底面 是等边三角形，侧
面 是等腰直角三角形， ， ，点 是 的中点.
(1)证明： ；
(2)设点 ， ， ， 均在球 的球面上.
①证明：点 O 在平面 内；
②求直线 与平面 所成角的正弦值.
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18．（17 分）某市 37 家 A 级旅游景区，在 2023 年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入
大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区 100 位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅游 不喜欢旅游 总计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
(1)能否有 的把握认为喜欢旅游与性别有关？
(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取 2 人进行访谈，记这 2 人中喜欢旅游的人数
为 ，求 的分布列与数学期望．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（17 分）已知函数 f（x） +alnx，实数 a＞0．
(1)当 a＝2 时，求函数 f（x）在 x＝1 处的切线方程；
(2)讨论函数 f（x）在区间（0，10）上的单调性和极值情况；
(3)若存在 x∈（0，+∞），使得关于 x 的不等式 f（x）＜2+a2x 成立，求实数 a 的取值范围．
4
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