资源简介

山西省长治市2025—2026学年度高三年级九月份质量监测数学试题
【注意事项】
1.本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
3.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，填空题和解答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题 58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. (－3，6) B. (3，－6)
C. (6，－3) D. (－6，3)
4. 游戏《黑神话：悟空》在山西的取景地共27处，包括长治市的崇庆寺、观音堂，大同市的云冈石窟等，具体分布如下：
城市 大同 朔州 忻州 晋中 长治 晋城 临汾 运城
取景地个数 6 2 6 2 2 3 2 4
某游客计划从中选5处景点游玩，其中长治、晋城各选一处，大同选两处，且云冈石窟必选，共有多少种不同的选法（ ）
A. 26 B. 450 C. 480 D. 1440
5. 从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. 5 B. C. D.
6. 已知两个等差数列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，将这两个等差数列公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A 850 B. 1250 C. 400 D. 450
7. 已知三棱锥的底面是边长为5的正三角形，且，，，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（ ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 若，则的最小值为4
C. 已知都是正数，且，则
D. 若且，则的取值范围为
10. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. 的个位数是9 D.
11. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上的另一点反射后沿直线射出，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是一个直角三角形
C. 若延长交直线于点，则点在直线上
D. 抛物线在点处的切线分别与直线、所成的角相等
第Ⅱ卷（非选择题 92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 曲线在点处的切线的倾斜角为______．
13. 顶点坐标分别为，，，则______．
14. 公比为的等比数列满足：，记，则当最小时，使成立的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
15. 已知．
（1）若，，求的值；
（2）设，求的值域和单调递增区间．
16. 已知椭圆的左，右焦点分别是，且，过作直线与交于、两点，的周长为．
（1）求的方程；
（2）若的面积为，求的方程．
17. 如图，在直四棱柱中，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，点在同一个球面上，设该球面的球心为．
（ⅰ）证明：平面上；
（ⅱ）求二面角的正弦值．
18. 已知．
（1）证明：曲线是中心对称图形；
（2）若时，恒成立，求的最小值；
（3）若的图象关于点对称，且的解集为，求的取值范围．
19. 共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
（1）求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；
（2）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．
参考答案
1-8.BAACC DBA 9-11.ABD BD ACD
12.
13.
14.19
15.【小问 1 详解】
16.
【小问 1 详解】
17.
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19.

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