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大同中学2025-2026学年第一学期高三年级数学摸底考
2025.9
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分）
1. 已知集合， 则_________.
2. 已知函数，则__________.
3. 的展开式中各项系数的和为__________．
4. 在中，，，，则为_____.
5. 若双曲线 的离心率小于3，则m的取值范围为_______.
6. 已知单位向量满足，则的模为________.
7．已知实数若、满足，则的最小值是_________．
8．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有_________种不同的选法（用数字作答）．
9. 某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为____________.
10. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
出生时间 1965年1月－4月 1965年5月－8月 1965年9月－12月 1966年1月－4月 …
新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 …
那么1970年5月出生的男职工退休年龄为__________.
11. 设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而．
若，则的通项公式为_________.
12.若两条曲线存在一个公共点，且在点处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点 处相切，点 称为它们的切点：①两条曲线在点 处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点 P 处的切线斜率相等（若曲线可导）.
已知圆和轴相切，且和相切于点，则圆的半径为_________.
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.）
13．设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
14. 设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（ ）
A B. C. D.
15．已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．的图像关于点对称 D．函数有个零点
16. 若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）．
A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17. 如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．若点Q是的中点，且.
（1）求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（2）若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标．
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围.
19. 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下：
组：，，，，，，；
组：12，13，15，16，17，14，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立．
（1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率；
（2）若组病人康复时间方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围．
20. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积；
（3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标．
21．已知函数是定义在上的增函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若为周期函数，证明：是常值函数；
(3)设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.
大同中学2025-2026学年第一学期高三年级数学摸底考
2025.9
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）
1. 已知集合， 则_________.
【答案】
2. 已知函数，则__________.
【答案】
3. 的展开式中各项系数的和为__________．
【答案】0
4. 在中，，，，则为_____.
【答案】或
5. 若双曲线 的离心率小于3，则m的取值范围为_______.
【答案】
【解析】因为，所以,
因为离心率小于3，所以，所以.
6. 已知单位向量满足，则的模为________.
【答案】
【解析】根据题意，，即，
所以，则.故答案为：
7．已知实数若、满足，则的最小值是_________．
【答案】5
【解析】，所以，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立．
因此，的最小值为．
8．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有_________种不同的选法（用数字作答）．
【答案】360
【解析】两类：①只有1名护士，共有：种选法；
②有2名护士，共有：种；故共有240+120=360种选法．
9. 某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为____________.
【答案】
【解析】如图所示，作中点为，连接，因为，所以，
又因为是等腰直角三角形，且，所以，
因为，，是公共边，所以，
所以 ,所以，
，面，面，所以面.
所以为点P到底面的距离，即.
在中，根据勾股定理，.
因为，，，面，面，
所以面，所以为点到面的距离，
在等腰直角三角形中，.
10. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
出生时间 1965年1月－4月 1965年5月－8月 1965年9月－12月 1966年1月－4月 …
新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 …
那么1970年5月出生的男职工退休年龄为__________.
【答案】61岁5个月
【解析】解法一：根据题意，出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年龄记为，
出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年龄记为，
出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年龄记为，，
则构成等差数列，首项岁1个月，公差为1个月，可得岁个月．
依此规律，1970年5月出生的男职工，他的退休年龄应该是的第17项，
即他的退休年龄为岁17个月=61岁5个月．
解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月．
出生年龄 退休年龄
1965.5 60岁2个月
1966.5 60岁5个月
1967.5 60岁8个月
1968.5 60岁11个月
1969.5 61岁2个月
1970.5 61岁5个月
故选：61岁5个月．
11. 设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而．
若，则的通项公式为_________.
【答案】
【解析】，，
，即，
， ，
累加得，又，
，
所以，.
12.若两条曲线存在一个公共点，且在点处满足以下两个条件，则称这两条曲线在点 处相切，点 称为它们的切点：①两条曲线在点 处拥有同一条切线（即切线重合）；②两条曲线在点 P 处的切线斜率相等（若曲线可导）.
已知圆和轴相切，且和相切于点，则圆的半径为_________.
【答案】
【解析】由切线即，
设圆心，则或．
注意到．
若，则代入（1）整理得；
若，则代入（1）整理得．
综上．
注意：两条曲线相切是局部概念，不影响有其它交点．
另：由的参数方程，设圆心，则．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.）
13．设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若复数是纯虚数，必有所以由能推出；
但若,不能推出复数是纯虚数． 所以由不能推出，
因此是充分不必要条件,故选A．
14. 设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为：，焦点坐标为：，
A：因为在抛物线内部，而到准线的距离为：，
所以的最小值为，不符合题意；
B：因为在抛物线上，所以的最小值就是，不符合题意；
C：因为在抛物线内部，到准线的距离为：，
所以的最小值为，符合题意，
D：因为在抛物线外部：所以的最小值就是
，不符合题意，故选：C
15．已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．的图像关于点对称 D．函数有个零点
【答案】C
【解析】已知是定义在上的偶函数，且，即该函数周期为4，
由题：时，，
当时，，，所以A选项正确；
，所以B选项正确；
的图像关于点对称，则，
但是，与矛盾，所以C选项错误；
作出函数的图像即可得到，函数有个零点，所以D选项正确．
16. 若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）．
A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题
【答案】B
【解析】对于集合D内的任意，都存在，使得，
故函数的值域应关于原点对称，
对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称，则，所以，
故若函数在上具有性质P，则的取值范围是，故①为真命题；
对于命题②，，则，
若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得，
当时，则，可得，
当时，则即可，解得，
当时，，可满足题意，即时恒成立，
综上所述：函数在上具有性质P，
则的取值范围是或或，故②是假命题．故选：B.
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17. 如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．若点Q是的中点，且.
（1）求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（2）若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，∴，则有，
解得，，，∴，，，
∴
设异面直线与所成角为，
异面直线与所成角的余弦值为
（2）设平面ABCD上一点，
因为，则，，，
由平面，可取平面的法向量为，
则有，解得，，∴
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）； （2）.
【解析】由题设，令，则，
∴，可得或（舍），
∴，故的零点为-2．
（2）由，则，
即在上恒成立，∵在上均递减，
∴在上递减，则，∴的取值范围为
19. 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下：
组：，，，，，，；
组：12，13，15，16，17，14，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立．
（1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率；
（2）若组病人康复时间方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，得组第60百分位数为第5个数：，组中康复时间不少于共有3人，
故从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率为.
（2）组病人康复时间的平均数；
组病人康复时间的方差为；
组病人康复时间的平均数；
组病人康复时间的方差为
由,得
,
化简，得，解得.故实数的取值范围是.
20. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积；
（3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题意，当P点在长轴端点时，
取，则 ①，
当P点在短轴端点时，取，则 ②，
由②得，故代入①，可得，，故椭圆E的标准方程为.
（2）如图1，若四边形为平行四边形，又，则，即为矩形，设，则，又，则，
于是，故平行四边形的面积为.
（3）如图2，设，则，且，
因且，故，则；
因，则因，故，则.
由联立解得：，
因点Q在椭圆E上，则得，将代入化简得：，
解得，，即点P坐标为.
21．已知函数是定义在上的增函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若为周期函数，证明：是常值函数；
(3)设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）因为是定义在上的增函数，
所以恒成立，故；
（2）反证：假设周期为的函数不是常值函数，
注意到是定义在上的增函数，则存在，满足.
取，则，由是增函数，
则，矛盾.故是常值函数；
（3）（充分性）是常值函数，则显然是周期函数.
（必要性）是周期函数，设其周期为周期为，
在处取得最大值.
（方法一）反证法：假设函数不是常值函数.
注意到是定义在上的增函数，则存在，满足.
若，用代替，
则我们总可以假设.取，有，
所以
，
这与矛盾，所以假设不成立.故函数是常值函数.
（方法二）对任意正整数，
，
所以，函数是增函数，
所以在上为常值函数，
注意到为任意正整数，所以上为常值函数.
对于任意固定的正整数，
对重复一样的推理可知，上为常值函数.正整数是任意的，所以上为常值函数.

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