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第十七章　因式分解 基础过关测试卷
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是 (　　)
A.x2+2x+4=x(x+2)+4
B.x2+xy+y2=(x+y)2
C.(x+5)(x-2)=x2+3x-10
D.x4-16=(x2+4)(x+2)(x-2)
2.下列选项中,不是多项式x(x-1)(x+1)2的因式的是 (　　)
A.x2+1 B.x-1 C.x+1 D.x
3.多项式6x3y2-3x2y3分解因式时,应提取的公因式是 (　　)
A.3x2y B.3x2y2 C.3x2y3 D.3xy
4.把多项式2x2-8分解因式,结果正确的是 (　　)
A.2(x2-4) B.2(x-2)2
C.2(x+2)(x-2) D.2(x+4)(x-4)
5.若多项式x2+□x+25因式分解的结果为(x-5)2,则“□”中的数为 (　　)
A.-5 B.5 C.-10 D.10
6.下列各式中,能用平方差公式分解因式的有 (　　)
①x2+y2;②x2-y2;③-x2-y2;④-x2+y2;⑤-x2+2xy-y2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.若多项式x2-ax-1可以分解因式为(x-2)(x+b),则a+b的值为 (　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
8.若实数x满足x2-2x=3,则2x1 000-4x999-6x998的值为 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.3
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.多项式4a2-4ab的公因式是　　.
10.已知xy=3,x-y=-2,则代数式x2y-xy2的值是　　　.
11.若三项式4a2-2a+1加上一个单项式后能用完全平方公式分解因式,请写出一个这样的单项式:　　　　　.
12.边长为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3+2a2b2的值是　　.
三、解答题(本大题共7小题,共52分)
13.(6分)把下列各式因式分解:(1)x2-49;
(2)x2-12xy+36y2;(3)5a2b+20ab2+20b3.
14.(6分)因式分解:(1)(x+2)(x+4)+x2-4;
(2)(a2+1)2-4(a2+1)+4.
15.(6分)已知a+b=4,a-b=1,求(a+2)2-(b-2)2的值.
16.(6分)已知关于x的二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
17.(8分)如图,某小区规划在半径为R的圆形场地上修建四个半径都为r的喷水池(2r(1)用R和r表示出种植花草部分的面积,并对结果进行因式分解;
(2)当R=17 m,r=1.5 m时,求种花草部分的面积(π取3.14).
18.(8分)【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
【验证】(1)(2+1)2-(2-1)2=　　;
(2)设两个正整数为m,n,请验证“发现”中的结论正确.
【拓展】(3)已知(x+y)2=200,xy=48,求(x-y)2的值;
(4)直接写出两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是几的倍数.
19.(12分)先阅读下面的内容,再解决问题.
例题:若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
解:∵m2+2mn+2n2-6n+9=0,
∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0,
∴(m+n)2+(n-3)2=0,
∴m+n=0,n-3=0,
∴m=-3,n=3.
(1)若x2+2y2-2xy-4y+4=0,求xy的值.
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=10a+8b-41,且c是△ABC中最长的边,求c的取值范围.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C C B D B
1.D　【解析】根据因式分解的定义可知,只有D选项正确.
2.A　【解析】由题意可知,x-1,x+1,x是该多项式的因式,只有A选项不是该多项式的因式.
3.B　【解析】6x3y2-3x2y3=3x2y2(2x-y),所以应提取的公因式是3x2y2.
4.C　【解析】2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2).
5.C　【解析】完全平方式的第二项等于两个数乘积的2倍,则□=2×(-5)=-10.
6.B　【解析】②x2-y2=(x+y)(x-y);④-x2+y2=y2-x2=(y+x)(y-x),只有②④能用平方差公式分解因式.
7.D　【解析】(x-2)(x+b)=x2+(b-2)x-2b=x2-ax-1,对比各项系数可得解得∴a+b=+=2.
8.B　【解析】∵x2-2x=3,∴x2-2x-3=0,∴2x1 000-4x999-6x998=2x998(x2-2x-3)=0.
二、填空题
9.4a
10.-6　【解析】x2y-xy2=xy(x-y)=3×(-2)=-6.
11.答案不唯一,如-3a2　【解析】加-3a2可分解为(a-1)2.
12.490　【解析】因为边长为a,b的长方形的周长为14,面积为10,所以a+b=14÷2=7,ab=10.所以 a3b+ab3+2a2b2=ab(a2+b2+2ab)=ab(a+b)2=10×72=490.
三、解答题
13.解:(1)原式=(x+7)(x-7); (2分)
(2)原式=(x-6y)2; (4分)
(3)原式=5b(a2+4ab+4b2)=5b(a+2b)2. (6分)
14.解:(1)原式=(x+2)(x+4)+(x+2)(x-2)=(x+2)(2x+2)=2(x+2)(x+1); (3分)
(2)原式=(a2+1-2)2=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2. (6分)
15.解:(a+2)2-(b-2)2=(a+2+b-2)(a+2-b+2)=(a+b)(a-b+4),
因为a+b=4,a-b=1,
所以原式=4×(1+4)=20. (6分)
16.解:设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n),
则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, (3分)
∴解得n=-7,m=-21.
∴另一个因式为x-7,m的值为-21. (6分)
17.解:(1)种花草部分的面积为πR2-4πr2=π(R2-4r2)=π(R+2r)(R-2r); (4分)
(2)当R=17 m,r=1.5 m时,原式≈3.14×(17+2×1.5)×(17-2×1.5)=3.14×20×14=879.2(m2).
答:种花草部分的面积约为879.2 m2. (8分)
18.解:验证: (1)(2+1)2-(2-1)2=(2+1+2-1)×(2+1-2+1)=4×2,
故答案为4×2; (2分)
(2)设两个正整数为m,n,
根据题意,得(m+n)2-(m-n)2=(m+n+m-n)(m+n-m+n)=4mn. (4分)
拓展:(3)因为(x+y)2=200,xy=48,且(x+y)2-(x-y)2=4xy,
所以(x-y)2=200-4×48=200-192=8; (6分)
(4)两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是2的倍数. (8分)
提示:设两个正整数为m,n,
根据题意,得(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2).
所以两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是2的倍数.
解题思路　(1)直接计算求值.(2)验证一般情况的解题思路是先利用代数表达式表示两个正整数之和与差的平方差,再展开并简化表达式,最后观察简化后的表达式是否总是4的倍数.(3)利用前面验证的结论进行公式转化,进而求值.(4)有前面的解题能力及验证过程,用代数表达式正确表示出来,可以推断出平方和的性质.
19.解:(1)x2+2y2-2xy-4y+4=x2-2xy+y2+y2-4y+4=(x-y)2+(y-2)2=0, (3分)
∴x-y=0,y-2=0,
解得x=2,y=2,
∴xy=22=4. (6分)
(2)∵a2+b2=10a+8b-41,∴a2-10a+25+b2-8b+16=0,即(a-5)2+(b-4)2=0, (8分)
∴a-5=0,b-4=0,解得a=5,b=4, (10分)
∵c是△ABC中最长的边,
∴5≤c<9. (12分)
命题分析　这道题目的命题意图是考查同学们对完全平方公式的理解和应用,以及对三角形三边关系的理解.题目通过两个子问题,逐步引导从简单的代数问题过渡到几何问题,旨在提高问题解决能力和数学思维能力.

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