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第十七章　因式分解 能力提优测试卷
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列代数式不是完全平方式的是 (　　)
A.m2+16m+64 B.4m2+20mn+25n2
C.m2n2+2mn+4 D.14mn+49m2+n2
2.将多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是 (　　)
A.x+1 B.2x C.x+3 D.x+2
3.下列多项式中,在有理数范围内不能用平方差公式因式分解的是 (　　)
A.-x2+y2 B.a2-2b2
C.x2y2-1 D.4a2-(a+b)2
4.若a,b,c是三角形的三边长,则式子(a-b)2-c2的值 (　　)
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.不能确定
5.下列因式分解正确的是 (　　)
A.x2-xy+y2=(x-y)2
B.x2-5x-6=(x-2)(x-3)
C.x3-4x=x(x2-4)
D.9m2-4n2=(3m+2n)(3m-2n)
6.如图,四边形ABCD是一个长方形,利用不同的方法可以计算出长方形的面积.通过分析图中所标线段的长度,将多项式m2+3mn+2n2因式分解,其结果正确的是 (　　)
A.(m+2n)2 B.(m+2n)(m+n)
C.(2m+n)(m+n) D.(m+2n)(m-n)
7.两个同学将同一个二次三项式分解因式,甲因看错了一次项系数而分解成(x+1)(x+4);乙因看错了常数项而分解成(x-1)(x+5).则将原多项式因式分解后的正确结果是 (　　)
A.(x+3)(x+1) B.(x+1)(x-1)
C.(x+2)2 D.(x-1)(x+4)
8.任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n=s×t(s,t是正整数,且s≤t).如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:F(n)=.例如:18可以分解成1×18,2×9,3×6这三种,这时就有F(18)==.下列关于F(n)的说法:①F(2)=;②F(12)=;③F(16)=F(36)=1;④F(n2-n)=1-.其中正确的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.当x=3.6,y=6.4时,代数式x2+xy+y2的值为　　　　.
10.若二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b),则a+b的值为　　　　.
11.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是　　　　.
12.已知多项式x2+,若把它加上一个单项式后可以用完全平方公式进行因式分解,则加上的单项式是　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共52分)
13.(6分)(1)因式分解:①2x2-4xy+2y2;②(x-1)2+2x-5.
(2)先因式分解,再求值:(x2+y2)2-4x2y2,其中x=3.5,y=1.5.
14.(8分)已知A=x2-1,B=x2y3-xy3,C=(x+1)(x-3)+4,多项式A,B,C是否有公因式 若有,求出其公因式;若没有,请说明理由.
15.(8分)利用因式分解计算下列各式:
(1)-23.7×+×1.3-2.6×;
(2)2 023×2 025-2 0242.
16.(8分)下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
(1)该同学从第二步到第三步运用了因式分解的　　　　.
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换,这个结果是否分解到最后 如果不是,请你直接写出最后的结果.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
17.(10分)发现与探索:
(1)根据小明的解答将下列各式因式分解:
小明的解答:
a2-6a+5
=a2-6a+9-9+5
=(a-3)2-4
=(a-5)(a-1)
①a2-12a+20;②(a-1)2-8(a-1)+7;③a2-6ab+5b2.
(2)根据小丽的思考解决问题:
小丽的思考: 代数式(a-3)2+4中,无论a取何值,(a-3)2≥0,再加上4,则代数式(a-3)2+4≥4,则(a-3)2+4有最小值,最小值为4.
请仿照小丽的思考,求代数式-a2+12a-8的最大值.
18.(12分)在现如今的“互联网+”时代,密码与我们的生活已经紧密相连,密不可分,而诸如“123 456”、生日等简单密码又容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理:将一个多项式分解因式,如多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=18时,x-1=17,x+1=19,x+2=20,此时可以得到数字密码171 920.
(1)根据上述方法,当x=21,y=7时,多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码 (写出三个)
(2)若一个直角三角形的周长是24,斜边长为10,其中两条直角边长分别为x,y,求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码.(只需一个即可)
(3)若多项式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后,当x=27时,可以得到其中一个密码为242 834,求m,n的值.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B B D B C C
1.C　【解析】根据完全平方式a2±2ab+b2的结构,可得C选项不是完全平方式.
2.C　【解析】原式=(x-2)[(x+2)+1]=(x-2)(x+3).
3.B　【解析】a2-2b2在有理数范围内不能写成两个式子的平方差的形式.
4.B　【解析】(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c),∵三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,∴a+c>b,a-b0,a-b-c<0,∴(a-b+c)(a-b-c)<0,∴(a-b)2-c2<0.
5.D　【解析】A.x2-xy+y2≠(x-y)2,错误;B.x2-5x-6=(x-6)(x+1),错误;C.x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2),错误.
6.B　【解析】观察图形可知m2+3mn+2n2=(m+2n)(m+n).
7.C　【解析】∵甲:(x+1)(x+4)=x2+5x+4.乙:(x-1)(x+5)=x2+4x-5.∴这个二次三项式是x2+4x+4,∴x2+4x+4=(x+2)2.
8.C　【解析】①∵2=1×2,∴F(2)=,正确;②∵12=1×12=2×6=3×4,∴F(12)=,错误;③∵F(16)==1,F(36)==1,∴F(16)=F(36)=1,正确;④∵n2-n=n(n-1),∴F(n2-n)==1-,正确.
二、填空题
9.50　【解析】x2+xy+y2=(x+y)2=×(3.6+6.4)2=×100=50.
10.-1　【解析】(x-2)(x+b)=x2+(b-2)x-2b,∵二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b),∴解得∴a+b=-+=-1.
11.等腰三角形　【解析】∵a2-b2=ac-bc,∴(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,∴(a-b)(a+b-c)=0.在△ABC中,∵a+b>c,∴a+b-c>0,∴a-b=0,即a=b,∴△ABC是等腰三角形.
12.±x或x4　【解析】x2,作为两个数(或式)的平方和的形式,加上的单项式可以是±x,当x2作为两个数(或式)的积的2倍,作为平方项,加上的单项式可以是x4.
三、解答题
13.(1)解:①原式=2(x2-2xy+y2)=2(x-y)2; (1分)
②原式=x2-2x+1+2x-5=x2-4=(x+2)(x-2). (3分)
(2)解:原式=(x2+2xy+y2)(x2-2xy+y2)
=(x+y)2(x-y)2. (5分)
当x=3.5,y=1.5时,原式=(3.5+1.5)2×(3.5-1.5)2=100. (6分)
14.解:多项式A,B,C有公因式. (1分)
理由:∵A=x2-1=(x+1)(x-1), (3分)
B=x2y3-xy3=xy3(x-1), (5分)
C=(x+1)(x-3)+4=x2-2x+1=(x-1)2, (7分)
∴多项式A,B,C的公因式是x-1. (8分)
15.解:(1)原式=×(-23.7+1.3-2.6)
=×(-25)=-20; (4分)
(2)原式=(2 024-1)(2 024+1)-2 0242
=2 0242-12-2 0242=-1. (8分)
16.解:(1)C　 (2分)
(2)该同学的结果没有分解到最后,最后的结果为(x-2)4. (5分)
(3)设x2-2x=y,
则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1
=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4. (8分)
解题方法　这道题目主要考查了利用换元法和公式法进行因式分解.通过引入新的变量来简化原问题,使得问题更容易解决.考查同学们的阅读理解能力,培养逻辑思维能力和代数运算能力,提高解决复杂问题的能力.
17.解:(1)①原式=a2-12a+36-36+20=(a-6)2-42=(a-10)(a-2); (2分)
②原式=(a-1)2-8(a-1)+16-16+7=(a-5)2-32=(a-8)(a-2); (4分)
③原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2=(a-3b)2-4b2=(a-5b)(a-b). (6分)
(2)原式=-(a2-12a+8)=-(a2-12a+36-36+8)=-(a-6)2+36-8=-(a-6)2+28.
无论a取何值,-(a-6)2≤0,再加上28,则代数式-(a-6)2+28≤28,
则-a2+12a-8的最大值为28. (10分)
18.解:(1)x3-xy2=x(x-y)(x+y),
当x=21,y=7时,x-y=14,x+y=28,
可得数字密码是211 428,也可以是212 814,142 128. (3分)
(2)由题意,得x+y=14,且x2+y2=100,
∴2xy=(x+y)2-(x2+y2)=142-100=96, (5分)
∴xy=48,
∵x3y+xy3=xy(x2+y2),
∴可得数字密码为48 100. (8分)
(3)密码“242 834”可表示为(x-3)(x+1)(x+7),
∴x3+(m-3n)x2-nx-21=(x-3)(x+1)(x+7), (10分)
∵(x-3)(x+1)(x+7)=x3+5x2-17x-21,
∴解得
∴m,n的值分别是56,17. (12分)

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