资源简介

23.3相似三角形
【知识点1】相似三角形的性质 1
【知识点2】相似三角形的判定与性质 2
【知识点3】相似三角形的判定 2
【知识点4】相似三角形的应用 3
【题型1】相似三角形的面积比等于相似比的平方 3
【题型2】相似三角形判定与性质的综合题 4
【题型3】利用相似三角形测高度 5
【题型4】相似三角形的周长比等于相似比 7
【题型5】相似三角形对应的中线等于相似比 7
【题型6】相似三角形的对应边成比例，对应角相等 8
【题型7】用三边成比例判定两个三角形相似 8
【题型8】平行线中相似三角形的判定 10
【题型9】相似三角形对应的高等于相似比 11
【题型10】用两角相等判定两个三角形相似 11
【题型11】利用相似三角形测距离 12
【题型12】相似三角形对应的角平分线等于相似比 14
【题型13】判定定理的综合题型 15
【题型14】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 17
【知识点1】相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
1.（2024秋 淮安期末）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数是（　　）
A．25° B．30° C．55° D．100°
【知识点2】相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
1.（2025 北京一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，只需添加下面三个条件中的一个即可证明△ABC是直角三角形．
①∠A=∠BCD；
②∠A+∠BCD=∠ADC；
③．
所有正确条件的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【知识点3】相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
1.（2024秋 建平县校级期中）有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（　　）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断
【知识点4】相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
1.（2024春 沂源县期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m,则树高为（　　）m.
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【题型1】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若=，则＝（　　）
A. B. C.6 D.8
【举一反三1】已知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）
A.1：1 B.1：3 C.1：6 D.1：9
【举一反三2】已知两个相似三角形的对应边上的高之比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是　 　．
【举一反三3】如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为　 　．
【举一反三4】如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积．
【举一反三5】两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm，它们的面积相差21cm2，试求这两个三角形的面积．
【题型2】相似三角形判定与性质的综合题
【典型例题】关于相似三角形的性质，下列说法正确的是（　　）
A.相似三角形的对应角相等
B.相似三角形的对应边相等
C.相似三角形周长的比等于相似比的平方
D.相似三角形面积的比等于相似比
【举一反三1】如图所示，在 ABCD中，点E在边AD上，且AE＝3DE，连接BE交AC于点O，则△AOB的面积与△BOC的面积之比为（　　）
A.9：16 B.9：4 C.3：4 D.3：2
【举一反三2】若两个相似三角形对应边上的高的比为3：2，对应中线的比为a：b，对应角平分线的比为c：d，则（a+c）：（b+d）＝　　 ．
【举一反三3】已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3．
（1）如果AD，A'D'分别为这两个三角形的对应高，且AD＝9cm，求A'D′的长．
（2）如果AE，A'E′分别为这两个三角形的对应中线，且A'E'＝10cm，求AE的长．
（3）如果AF，A′F′分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值．
【举一反三4】如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2．
求：（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．
【题型3】利用相似三角形测高度
【典型例题】如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100cm，木棒上沾油部分的长为60cm，桶高为80cm，那么桶内油面的高度是（　　）
A.32 cm B.30 cm C.50 cm D.48 cm
【举一反三1】如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为（　　）
A.20cm B.24cm C.32cm D.40cm
【举一反三2】“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，若某次测量中＝，则下列结论中错误的（　　）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【举一反三3】小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、4cm，则实像CD的高度为 　　 cm．
【举一反三4】如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，求旗杆的高度．
【题型4】相似三角形的周长比等于相似比
【典型例题】若△ABC∽△DEF，=，△ABC的周长是8，则△DEF的周长是（　　）
A.10 B.16 C.20 D.32
【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　）
A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：1
【举一反三2】两个相似三角形周长的差是4，对应中线的比是4：5，那么较大三角形的周长是　 　．
【举一反三3】如果两个相似三角形的最大边上的中线分别是5cm和2cm，它们周长的差是60cm，那么这两个三角形的周长分别为　 　．
【举一反三4】两个相似三角形某一对应角的平分线的比为2：3，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小4cm．求这两个三角形的周长．
【题型5】相似三角形对应的中线等于相似比
【典型例题】两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应中线之比是（　　）
A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4
【举一反三1】如图，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，则△ADE与△ABC对应边上的中线之比为（　　）
A.2：3 B.4：9 C.2：5 D.4：25
【举一反三2】已知△ABC∽△A′B′C′，AD与A′D′是它们的对应中线，如果△ABC与△A′B′C′的面积比是1：9，那么AD：A′D′为　 　．
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线且AM＝6cm，AB＝8cm，DE＝4cm，求DN的长．
【题型6】相似三角形的对应边成比例，对应角相等
【典型例题】已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在有长度分别为10cm和30cm的木条各一根，要做一个三角形木架与已知三角形相似，那么第三根木条的长度应为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【举一反三1】△ABC中，AB＝6，BC＝8，CA＝12，已知与△ABC相似的三角形的最长边是16，则其最短边是（　　）
A.8 B.10 C. D.12
【举一反三2】如图，△AED∽△ABC，∠A＝80°，∠B＝35°，则∠ADE等于（　　）
A.80° B.75° C.65° D.35°
【举一反三3】已知在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点P是AB上的一个动点，点E在边AC上，设BP＝x，若△APE∽△ACB，则x的取值范围为　 　．
【举一反三4】如图，已知点D、E分别是AB、AC边上的点，且△ADE∽△ABC，相似比为1：3，AG⊥BC交DE于点F，则AF：AG＝　 　．
【举一反三5】如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
【题型7】用三边成比例判定两个三角形相似
【典型例题】下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与最左边图中的△ABC相似的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别，，，则△ABC与△DEF（　　）
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判定是否相似
【举一反三2】有一个三角形三边分别为a＝3，b＝4，c＝5，另一个三角形a′＝8，b′＝6，c′＝10，则这两个三角形（　　）
A.都是直角三角形，但不相似
B.都是直角三角形，也相似
C.都是钝角三角形，也相似
D.都是锐角三角形，也相似
【举一反三3】在△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，在△A1B1C1中，A1B1＝1，C1A1＝2，当B1C1＝　 　时，△ABC∽△A1B1C1．
【举一反三4】如图，△ABC和△EFD的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由．
【题型8】平行线中相似三角形的判定
【典型例题】如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8
【举一反三1】我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，问井深BD是多少．如图，设井深为x尺，所列方程正确的是（　　）
A. B.= C. D.
【举一反三2】如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是 　 　．
【举一反三3】如图，DE∥BC．
（1）如果AD＝2，DB＝3，求DE：BC的值；
（2）如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．
【举一反三4】如图所示，已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝65°，点D、E分别的边AB、AC上，且∠AED＝75°．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD：BD＝2：3，AE＝3，求AC的长．
【题型9】相似三角形对应的高等于相似比
【典型例题】若两个相似三角形的面积之比为9：16，则它们的对应高线之比为（　　）
A.9：16 B.4：3 C.3：4 D.16：9
【举一反三1】若两个相似三角形对应中线的比为，则它们对应边上的高之比为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知△ABC∽△A′B′C′，对应中线的比为2：，且BC边上的高是5，则B′C′边上的高为　 　．
【举一反三3】△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线．已知AD＝8cm，A′D′＝3cm，求△ABC与△A′B′C′对应高的比．
【题型10】用两角相等判定两个三角形相似
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（　　）
A.△AEF∽△ABF B.△ABF∽△ECF C.△ADE∽△AEF D.△ADE∽△ECF
【举一反三1】已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（　　）
A.一定不相似
B.不一定相似
C.一定相似
D.不能确定
【举一反三2】如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，图中与△DFG相似的三角形为（　　）
A.△DFH B.△DGH C.△DEG D.△DEH
【举一反三3】如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：　 　 ．
【举一反三4】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED＝45°，求证：△ABE∽△ECD．
【举一反三5】如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【题型11】利用相似三角形测距离
【典型例题】如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，则河的宽度AB约为（　　）
A.20m B.18m C.28m D.30m
【举一反三1】如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（　　）
A.2 B.3 C. D.
【举一反三2】如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，则点A与点B之间的距离为（　　）
A.20mm B.30mm C.40mm D.50mm
【举一反三3】如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝　 　米时，才能发现C处的儿童．
【举一反三4】如图，直线EP和直线FQ是两排树，其中点E、B、P、F、C、H、Q为每棵树所在的位置，且EB＝BP＝FC＝CH＝HQ＝3m，EP∥FQ，为测量这两排树之间的距离PQ，小明先在两棵树QP的延长线上选取一点A，恰好发现点A、B、C在一条直线上，然后小明后退10m到达点D处，发现点D、E、F也在一条直线上，图中PE⊥DQ，FQ⊥DQ，求两排树之间的距离PQ．
【举一反三5】小明想通过自己所学的知识测量一段笔直的高架桥MN上DQ段的运行距离，设计了如下的测量方案：已知在高架桥的一侧有一排居民楼AB（楼顶AB与高架桥MN在同一水平面上，且AB与点D正好在同一直线上），测得AB＝35米，小明先站在A处，测得视线与高架桥MN的垂直距离AH＝15米，小明又站在B处，使得视线与BQ在一条直线上，此时测得BQ＝45米，且∠QBA＝90°，求此高架桥上DQ段的运行距离．
【题型12】相似三角形对应的角平分线等于相似比
【典型例题】若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（　　）
A.9：1 B.6：1 C.3：1 D.：1
【举一反三1】已知△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，若A'C'＝4，则AC＝（　　）
A.6 B. C. D.
【举一反三2】已知△ABC三边长是2，4，5，与△ABC相似的三角形三边长可能是（　　）
A.6，12，15 B.4，8，5 C.3，5，6 D.3，4，5
【举一反三3】如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为　 　．
【举一反三4】如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是　 　．
【举一反三5】已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12，A1C1＝9，∠A1的平分线A1D1的长为6，求∠A的平分线的长．
【举一反三6】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，△ADE∽△ACB，AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．求的值．
【题型13】判定定理的综合题型
【典型例题】如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A.∠ACD＝∠B B.∠ADC＝∠ACB C.= D.=
【举一反三1】如图，在△ABC纸片中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝7，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，△ABC中，点D．E分别在AB．AC边上，有下列条件：①∠ADE＝∠C，②=，③=，④=，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①=；②=；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有　 　组．
【举一反三4】如图，BD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）下列结论中，所有正确结论的序号是 　 　．
①△ABD∽△ACE；
②△EBF∽△DCF；
③△BEC∽△CDB；
④△DEF∽△CBF．
【题型14】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
【典型例题】如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的三角形与图中△ABC相似的是（　　）
A.△FBE B.△BED C.△DFE D.△ABE
【举一反三1】如图，∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝DE，那么下列结论正确的是（　　）
A.∠1+∠2+∠3＝135°
B.△ABD∽△EBA
C.△ACD∽△ECA
D.以上结论都不对
【举一反三2】满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形是（　　）
A.∠A＝60°，AB＝5cm，AC＝10cm；∠A'＝60°，A'B'＝3cm，A'C'＝10cm
B.∠A＝45°，AB＝4cm，BC＝6cm；∠D＝45°，DE＝2cm，DF＝3cm
C.∠A＝∠D＝30°，AB＝8cm，BC＝4cm；DF＝6cm，FE＝3cm
D.∠A＝∠A'，且AB A'C'＝AC A'B'
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，如果AC2＝AD AB，那么图中一定相似的三角形是 　 　．
【举一反三4】如图，线段AB与CD相交于点P，AP＝5，CP＝3，BP＝10，DP＝6．求证：△APC∽△BPD．
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD．CD上的点，且AE＝ED，DF＝DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求BG的长．23.3相似三角形
【知识点1】相似三角形的性质 1
【知识点2】相似三角形的判定与性质 2
【知识点3】相似三角形的判定 3
【知识点4】相似三角形的应用 4
【题型1】相似三角形的面积比等于相似比的平方 5
【题型2】相似三角形判定与性质的综合题 7
【题型3】利用相似三角形测高度 10
【题型4】相似三角形的周长比等于相似比 14
【题型5】相似三角形对应的中线等于相似比 16
【题型6】相似三角形的对应边成比例，对应角相等 17
【题型7】用三边成比例判定两个三角形相似 20
【题型8】平行线中相似三角形的判定 22
【题型9】相似三角形对应的高等于相似比 25
【题型10】用两角相等判定两个三角形相似 26
【题型11】利用相似三角形测距离 29
【题型12】相似三角形对应的角平分线等于相似比 33
【题型13】判定定理的综合题型 36
【题型14】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 39
【知识点1】相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
1.（2024秋 淮安期末）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数是（　　）
A．25° B．30° C．55° D．100°
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理求出∠C=25°，由相似三角形的性质推出∠C′=∠C=25°．
【解答】解：∵∠A=55°，∠B=100°，
∴∠C=180°-55°-100°=25°，
∵ABC∽△A'B'C，
∴∠C′=∠C=25°．
故选：A．
【知识点2】相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
1.（2025 北京一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，只需添加下面三个条件中的一个即可证明△ABC是直角三角形．
①∠A=∠BCD；
②∠A+∠BCD=∠ADC；
③．
所有正确条件的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】证明△ABC是直角三角形，即证明其中有90°角，根据所给的条件逐一进行证明即可．
【解答】解：①∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠A=∠BCD，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故①符合题意，
②∵∠ADC=90°，
∠A+∠BCD=∠ADC，
∴∠A+∠BCD=90°，
∵∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠B，
不能证明∠ACB是90°，
故②不合题意，
③∵∠ADC=∠BDC=90°，
，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，
由①可知，△ABC是直角三角形，
故③符合题意，
∴可证明△ABC是直角三角形只需添加的条件有①或③，
故选：B．
【知识点3】相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
1.（2024秋 建平县校级期中）有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（　　）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断
【答案】A
【分析】一定相似，因为将甲的三角形木框的各边分别乘以就得到了乙的三角形木框，即其两人的三角形和各对应边比相等，所以两三角形相似．
【解答】解：因为，即两个三角形三边对应成比例，所以相似．
故选：A．
【知识点4】相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
1.（2024春 沂源县期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m,则树高为（　　）m.
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【答案】B
【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，
则=，
∴x=5.1m.
故选：B．
【题型1】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若=，则＝（　　）
A. B. C.6 D.8
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，=，
∴△ABC，△A1B1C1的相似比为；
∴==；
故选：A．
【举一反三1】已知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）
A.1：1 B.1：3 C.1：6 D.1：9
【答案】D
【解析】由题意可知△ADE与△ABC相似，且周长比为1：3，△ABC与△ADE的面积比为相似比的平方，故为1：9．
故选：D．
【举一反三2】已知两个相似三角形的对应边上的高之比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是　 　．
【答案】12
【解析】∵两个相似三角形的对应边上的高之比是2：3，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三三角形的面积比是4：9，
∵较大的三角形的面积为27，
∴较小的三角形的面积为：．
故答案为：12．
【举一反三3】如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为　 　．
【答案】1：16
【解析】∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴两三角形的相似比为1：4，
∴两三角形的面积比为1：16．
故答案为：1：16．
【举一反三4】如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积．
【答案】解　∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
∴=，
又∵△ADE的面积是1，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．
【举一反三5】两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm，它们的面积相差21cm2，试求这两个三角形的面积．
【答案】解　∵两个相似三角形的一对对应边长分别为35cm和14cm，
∴其相似比为：5：2，
∴其面积比为：25：4，
设较大的三角形面积为25x cm2，较小的三角形面积为4x cm2．
∵它们的面积差为21cm2，
∴25x﹣4x＝21，
解得：x＝1，
∴较大的三角形面积为25cm2，较小的三角形面积为4cm2．
【题型2】相似三角形判定与性质的综合题
【典型例题】关于相似三角形的性质，下列说法正确的是（　　）
A.相似三角形的对应角相等
B.相似三角形的对应边相等
C.相似三角形周长的比等于相似比的平方
D.相似三角形面积的比等于相似比
【答案】A
【解析】A．相似三角形的对应角相等，故此选项正确；
B．相似三角形的对应边成比例，故此选项错误；
C．相似三角形周长的比等于相似比，故此选项错误；
D．相似三角形面积的比等于相似比的平方，故此选项错误．
故选：A．
【举一反三1】如图所示，在 ABCD中，点E在边AD上，且AE＝3DE，连接BE交AC于点O，则△AOB的面积与△BOC的面积之比为（　　）
A.9：16 B.9：4 C.3：4 D.3：2
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝3DE，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴，
如图：过B作BF⊥AC于点F，
∴ ．
故选：C．
【举一反三2】若两个相似三角形对应边上的高的比为3：2，对应中线的比为a：b，对应角平分线的比为c：d，则（a+c）：（b+d）＝　　 ．
【答案】
【解析】∵两个相似三角形对应边上的高的比为3：2，
∴对应中线的比为a：b＝3：2，对应角平分线的比为c：d＝3：2，
设a＝3k，b＝2k，c＝3m，d＝2m，
∴
故答案为：．
【举一反三3】已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3．
（1）如果AD，A'D'分别为这两个三角形的对应高，且AD＝9cm，求A'D′的长．
（2）如果AE，A'E′分别为这两个三角形的对应中线，且A'E'＝10cm，求AE的长．
（3）如果AF，A′F′分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值．
【答案】解　（1）∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3，
∴对应高的比等于2：3，
即：AD：A′D′＝2：3，
∵AD＝9cm，
∴9：A′D′＝2：3，
解得：A′D′＝13.5，
∴A'D′的长为13.5cm；
（2）∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3，
∴对应中线的比等于2：3，
即：AE：A′E′＝2：3，
∵A′E′＝10cm，
∴AE：10＝2：3，
解得：AE＝，
∴AE的长为cm；
（3）∵AF，A′F′分别为这两个三角形的对应角平分线，
∴＝．
【举一反三4】如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2．
求：（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．
【答案】解　（1）由相似变换可得：DE：AB＝DF：AC＝2：3；
（2）∵AC：DF＝3：2，
∴△DEF的周长：△ABC的周长＝2：3，
S△DEF：S△ABC＝4：9，
∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2
∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝cm2．
【题型3】利用相似三角形测高度
【典型例题】如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100cm，木棒上沾油部分的长为60cm，桶高为80cm，那么桶内油面的高度是（　　）
A.32 cm B.30 cm C.50 cm D.48 cm
【答案】D
【解析】如图：
AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部分的长．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：CA＝DE：AB，
∴60：100＝DE：80，
∴DE＝48cm，
故选：D．
【举一反三1】如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为（　　）
A.20cm B.24cm C.32cm D.40cm
【答案】B
【解析】由题意得：AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵AB＝60cm，AB+BC＝140cm，
∴BC＝140﹣60＝80（cm），
∴AC＝＝＝100（cm），
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BC＝40（cm），
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ECD∽△BCA，
∴，
∴＝，
解得：DE＝24，
∴钢梁DE的长为24cm，
故选：B．
【举一反三2】“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，若某次测量中＝，则下列结论中错误的（　　）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【答案】C
【解析】由题意及图知，EF∥AB，
∴，
故A正确；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，，
故B、D正确；
∵∠EFC＝90°，
∴当∠CEF≠30°时，CF≠，
此时，
故C错误；
故选：C．
【举一反三3】小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、4cm，则实像CD的高度为 　　 cm．
【答案】3
【解析】∵AB⊥BC，OE⊥BC，DC⊥BC
∴AB∥OE∥DC，
∴△OEC∽△ABC，△OEB∽△DBC，
∴，
∵AB的高为6cm，BE，CE分别为8cm、4cm，
∴，
∴，
∴CD＝3cm，
故答案为：3．
【举一反三4】如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，求旗杆的高度．
【答案】解　如图，∵ED⊥AD BC⊥AC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∵AD＝8，AC＝AD+CD＝8+22＝30（m），ED＝3.2m，
∴BC＝＝＝12（m）
∴旗杆的高为12m．
【题型4】相似三角形的周长比等于相似比
【典型例题】若△ABC∽△DEF，=，△ABC的周长是8，则△DEF的周长是（　　）
A.10 B.16 C.20 D.32
【答案】C
【解析】在△ACD和△ABC中，∠BAC＝∠DAC，
∴△ABC∽△DEF，=，△ABC的周长是8，
∴△DEF的周长是：8×＝20．
故选：C．
【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　）
A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：1
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，
而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，
∴△ABC与△DEF的周长之比＝1：2．
故选：A．
【举一反三2】两个相似三角形周长的差是4，对应中线的比是4：5，那么较大三角形的周长是　 　．
【答案】20
【解析】令较大的三角形的周长为x．
小三角形的周长为x﹣4，
由两个相似三角形对应中线的比为4：5得，
4：5＝（x﹣4）：x，
解之得x＝20．
故答案为：20．
【举一反三3】如果两个相似三角形的最大边上的中线分别是5cm和2cm，它们周长的差是60cm，那么这两个三角形的周长分别为　 　．
【答案】100cm，40cm
【解析】∵两个相似三角形的最大边上的中线分别是5cm和2cm，
∴两三角形的相似比为5：2，
∴它们的周长的比为5：2，
设两三角形的周长分别为5kcm，2kcm，
根据题意得，5k﹣2k＝60，
解得k＝20，
所以，5k＝5×20＝100cm，
2k＝2×20＝40cm，
即这两个三角形的周长分别为100cm，40cm．
故答案为：100cm，40cm．
【举一反三4】两个相似三角形某一对应角的平分线的比为2：3，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小4cm．求这两个三角形的周长．
【答案】解　设较小的三角形的周长为x cm，则较大的三角形的周长为（x+4）cm，
∵两个相似三角形对应角平分线的比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴＝，
解得，x＝8，
则x+4＝12，
故这两个三角形的周长为8cm和12cm．
【题型5】相似三角形对应的中线等于相似比
【典型例题】两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应中线之比是（　　）
A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4
【答案】B
【解析】∵两个相似三角形对应边之比1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的对应中线之比是1：2，
故选：B．
【举一反三1】如图，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，则△ADE与△ABC对应边上的中线之比为（　　）
A.2：3 B.4：9 C.2：5 D.4：25
【答案】C
【解析】∵DE∥BC，AD＝2，DB＝3，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AEC＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴△ADE与△ABC对应边上的中线之比为2：5．
故选：C．
【举一反三2】已知△ABC∽△A′B′C′，AD与A′D′是它们的对应中线，如果△ABC与△A′B′C′的面积比是1：9，那么AD：A′D′为　 　．
【答案】
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积比是1：9，AD与A′D′是它们的对应中线，
∴，
∴=．
故答案为：．
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线且AM＝6cm，AB＝8cm，DE＝4cm，求DN的长．
【答案】解　∵△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，
∴＝，
又AM＝6cm，AB＝8cm，DE＝4cm，
∴＝，
∴DN＝3cm．
【题型6】相似三角形的对应边成比例，对应角相等
【典型例题】已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在有长度分别为10cm和30cm的木条各一根，要做一个三角形木架与已知三角形相似，那么第三根木条的长度应为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【答案】B
【解析】∵＝＝，
∴第三根木条与50cm的边长是对应边，设为xcm，
∴＝，
解得x＝25cm．
故选：B．
【举一反三1】△ABC中，AB＝6，BC＝8，CA＝12，已知与△ABC相似的三角形的最长边是16，则其最短边是（　　）
A.8 B.10 C. D.12
【答案】A
【解析】∵△ABC中，AB＝6，BC＝8，CA＝12，与△ABC相似的三角形的最长边是16，
∴设其最短边是x，则＝，
解得：x＝8．
故选：A．
【举一反三2】如图，△AED∽△ABC，∠A＝80°，∠B＝35°，则∠ADE等于（　　）
A.80° B.75° C.65° D.35°
【答案】C
【解析】∵△AED∽△ABC，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠A＝80°，∠B＝35°，
∴∠ADE＝∠C＝180°﹣80°﹣35°＝65°，
故选：C．
【举一反三3】已知在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点P是AB上的一个动点，点E在边AC上，设BP＝x，若△APE∽△ACB，则x的取值范围为　 　．
【答案】3.5＜x＜8
【解析】∵△APE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝8，AC＝6，BP＝x，
∴AE＝﹣x，
∵E在AC上，AC＝6，
∴0＜﹣x＜6，
∴3.5＜x＜8，
故答案为：3.5＜x＜8．
【举一反三4】如图，已知点D、E分别是AB、AC边上的点，且△ADE∽△ABC，相似比为1：3，AG⊥BC交DE于点F，则AF：AG＝　 　．
【答案】1：3
【解析】∵△ADE∽△ABC，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∵AG⊥BC，
∴AF⊥DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AF：AG＝AD：AB，
∵△ADE和△ABC的相似比为1：3，
∴AD：AB＝1：3，
∴AF：AG＝1：3．
故答案为：1：3．
【举一反三5】如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
【答案】解　∵正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，
∴AE＝×2＝1，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝，
∵△ADE∽△CMN，
∴＝，
即＝，
解得CM＝．
【题型7】用三边成比例判定两个三角形相似
【典型例题】下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与最左边图中的△ABC相似的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】观察可以发现AC＝，BC＝2，AB＝，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角三角形，
第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，
第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，
第4个图形中，有两边为，2，且为直角三角三角形，
∴只有第1，4个图形与最左边图中的△ABC相似．
故选：B．
【举一反三1】已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别，，，则△ABC与△DEF（　　）
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判定是否相似
【答案】A
【解析】因为＝＝＝，
所以△ABC与△DEF一定相似．
故选：A．
【举一反三2】有一个三角形三边分别为a＝3，b＝4，c＝5，另一个三角形a′＝8，b′＝6，c′＝10，则这两个三角形（　　）
A.都是直角三角形，但不相似
B.都是直角三角形，也相似
C.都是钝角三角形，也相似
D.都是锐角三角形，也相似
【答案】B
【解析】根据题意，由勾股定理的逆定理得：
这两个三角形都是直角三角形；
∵a：b′＝b：a′＝c：c′＝1：2；
∴两三角形相似
故选：B．
【举一反三3】在△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，在△A1B1C1中，A1B1＝1，C1A1＝2，当B1C1＝　 　时，△ABC∽△A1B1C1．
【答案】1.5
【解析】当B1C1＝1.5时，△ABC∽△A1B1C1．
理由如下：∵AB：BC：CA＝2：3：4，
∴设AB＝2a，BC＝3a，AC＝4a，
∵A1B1＝1，C1A1＝2，B1C1＝1.5，
∴=＝2a，＝＝2a，＝＝2a，
∴=＝，
∴当B1C1＝1.5时，△ABC∽△A1B1C1．
故答案为：1.5．
【举一反三4】如图，△ABC和△EFD的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由．
【答案】解　△ABC与△EFD相似，理由如下：
如图，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，EF＝＝，ED＝＝2，DF＝＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△EFD．
【题型8】平行线中相似三角形的判定
【典型例题】如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝OA＝＝4．
故选：B．
【举一反三1】我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，问井深BD是多少．如图，设井深为x尺，所列方程正确的是（　　）
A. B.= C. D.
【答案】A
【解析】 设BD＝x尺．
∵四边形BCED是矩形，
∴BF∥DE，
∴△AFB∽△AED，
∴=，
∴=，
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是 　 　．
【答案】
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∵AD＝2，BD＝3，
∴=．
故答案为：．
【举一反三3】如图，DE∥BC．
（1）如果AD＝2，DB＝3，求DE：BC的值；
（2）如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．
【答案】解　（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
而AD＝2，DB＝3，AB＝5，
∴=．
（2）由（1）知：△ADE∽△ABC，
∴==，
而AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，
∴=，
解得：AE＝6，BC＝．
【举一反三4】如图所示，已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝65°，点D、E分别的边AB、AC上，且∠AED＝75°．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD：BD＝2：3，AE＝3，求AC的长．
【答案】（1）证明　∵∠A＝40°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．
∵∠AED＝75°，
∴∠AED＝∠C．
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解　∵DE∥BC，
∴=．
∴=．
∴EC＝．
∴AC＝AE+EC＝3+＝．
【题型9】相似三角形对应的高等于相似比
【典型例题】若两个相似三角形的面积之比为9：16，则它们的对应高线之比为（　　）
A.9：16 B.4：3 C.3：4 D.16：9
【答案】C
【解析】∵两个相似多边形的面积之比为9：16，
∴相似比是3：4，
又∵相似多角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为3：4．
故选：C．
【举一反三1】若两个相似三角形对应中线的比为，则它们对应边上的高之比为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为两个相似三角形对应高的比与对应中线的比相等，
所以它们对应边上的高之比为．
故选：B．
【举一反三2】已知△ABC∽△A′B′C′，对应中线的比为2：，且BC边上的高是5，则B′C′边上的高为　 　．
【答案】7.5
【解析】设B′C′边上的高为x．
∵△ABC∽△A′B′C′，对应中线的比为2：，且BC边上的高是5，
∴5：x＝2：，
∴x＝7.5．
故答案为：7.5．
【举一反三3】△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线．已知AD＝8cm，A′D′＝3cm，求△ABC与△A′B′C′对应高的比．
【答案】解　∵△ABC∽△A'B'C'，是它们的对应角平分线，AD＝8cm，A′D′＝3cm，
∴△ABC与△A'B'C'的对应高的比＝AD：A′D′＝8：3．
【题型10】用两角相等判定两个三角形相似
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（　　）
A.△AEF∽△ABF B.△ABF∽△ECF C.△ADE∽△AEF D.△ADE∽△ECF
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
在△ADE和△ECF中，
，
∴△ADE∽△ECF，选项D正确；
△AEF与△ABF、△ABF与△ECF、△ADE与△AEF都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形，
故选：D．
【举一反三1】已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（　　）
A.一定不相似
B.不一定相似
C.一定相似
D.不能确定
【答案】C
【解析】∵一个三角形的两个内角分别是40°，60°，
∴第三个内角为80°，
又∵另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，
∴这两个三角形有两个内角相等，
∴这两个三角形相似．
故选：C．
【举一反三2】如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，图中与△DFG相似的三角形为（　　）
A.△DFH B.△DGH C.△DEG D.△DEH
【答案】A
【解析】∵△DFG是钝角三角形，△DEG，△DEH是直角三角形，故选项C，D不符合题意．
∵△DGH是钝角三角形，且∠DGH＞∠DFG，
∴选项B不符合题意，
故只有选项A符合题意．
故选：A．
【举一反三3】如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：　 　 ．
【答案】∠B＝∠A
【解析】添加∠B＝∠A，
∵∠B＝∠A，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
故答案为：∠B＝∠A（答案不唯一）．
【举一反三4】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED＝45°，求证：△ABE∽△ECD．
【答案】证明　∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠CED＝∠B+∠BAE，
∵∠AED＝45°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD．
【举一反三5】如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【答案】证明　∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE．
【题型11】利用相似三角形测距离
【典型例题】如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，则河的宽度AB约为（　　）
A.20m B.18m C.28m D.30m
【答案】B
【解析】∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴
即＝，
∴AB＝18（m）．
故选：B．
【举一反三1】如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（　　）
A.2 B.3 C. D.
【答案】C
【解析】当△DBC∽△DCA时，∠ACB最大，
∴，
∴CD2＝BD AD＝1×（1+4）＝5，
∴CD＝，
故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为
故选：C．
【举一反三2】如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，则点A与点B之间的距离为（　　）
A.20mm B.30mm C.40mm D.50mm
【答案】B
【解析】连接AB交直线OC于点E，得AB⊥OC，AE＝BE，
∴OC＝＝＝26（mm），
∵这个侧面图是轴对称图形，
∴∠AOE＝∠COD，
∵∠OEA＝∠ODC＝90°，
∴△OAE∽△OCD，
∴，
即，
∴AE＝15（ mm），
∴AB＝2AE＝30 （mm）．
故选：B．
【举一反三3】如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝　 　米时，才能发现C处的儿童．
【答案】5.75
【解析】在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m，
∴CM＝＝＝3m，
∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°，
∴△BDO∽△CMO，
∴，
∴，
∴BD＝2.25m，
在Rt△AOD中，OA＝米，
∴AD＝＝8m，
∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m），
∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童，
故答案为：5.75．
【举一反三4】如图，直线EP和直线FQ是两排树，其中点E、B、P、F、C、H、Q为每棵树所在的位置，且EB＝BP＝FC＝CH＝HQ＝3m，EP∥FQ，为测量这两排树之间的距离PQ，小明先在两棵树QP的延长线上选取一点A，恰好发现点A、B、C在一条直线上，然后小明后退10m到达点D处，发现点D、E、F也在一条直线上，图中PE⊥DQ，FQ⊥DQ，求两排树之间的距离PQ．
【答案】解　设PQ＝x，
∵BP∥CQ，BP＝3，CQ＝6，
∴△ABP∽△ACQ，
∴，
∴AQ＝2AP，即AP＝PQ＝x，
∵EP∥FQ，EP＝6，FQ＝9，
∴△DPE∽△DQF，
∴，即3DP＝2DQ，
∴3（10+x）＝2（10+2x），
解得x＝10，即PQ＝10，
答：两排树之间的距离PQ＝10．
【举一反三5】小明想通过自己所学的知识测量一段笔直的高架桥MN上DQ段的运行距离，设计了如下的测量方案：已知在高架桥的一侧有一排居民楼AB（楼顶AB与高架桥MN在同一水平面上，且AB与点D正好在同一直线上），测得AB＝35米，小明先站在A处，测得视线与高架桥MN的垂直距离AH＝15米，小明又站在B处，使得视线与BQ在一条直线上，此时测得BQ＝45米，且∠QBA＝90°，求此高架桥上DQ段的运行距离．
【答案】解　∵AH⊥DQ，
∴∠AHD＝∠DBQ＝90°，
∵∠ADH＝∠QDB，
∴△ADH∽△QDB，
∴，
设AD＝x，DQ＝3x，
∴BD＝35+x，
在Rt△BDQ中，∵DQ2＝BD2+BQ2，
∴（3x）2＝（35+x）2+452，
∴x＝25（负值舍去），
∴高架桥上DQ段的运行距离为75米．
【题型12】相似三角形对应的角平分线等于相似比
【典型例题】若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（　　）
A.9：1 B.6：1 C.3：1 D.：1
【答案】C
【解析】∵两个相似三角形对应高之比是3：1，
∴两个相似三角形的相似比是3：1，
∴它们的对应角平分线之比为3：1，
故选：C．
【举一反三1】已知△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，若A'C'＝4，则AC＝（　　）
A.6 B. C. D.
【答案】C
【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，
∴＝，
∵A′C′＝4，
∴AC＝，
故选：C．
【举一反三2】已知△ABC三边长是2，4，5，与△ABC相似的三角形三边长可能是（　　）
A.6，12，15 B.4，8，5 C.3，5，6 D.3，4，5
【答案】A
【解析】∵△ABC三边长是2，4，5，
∴△ABC三边长的比为2：4：5，
∵6：12：15＝2：4：5，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是6，12，15，
故选：A．
【举一反三3】如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为　 　．
【答案】4：9
【解析】∵两个相似三角形的周长之比是4：9，
∴两个相似三角形的相似比为4：9，
∴它们的对应角平分线的比为4：9．
故答案为：4：9．
【举一反三4】如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是　 　．
【答案】2：3
【解析】∵两个相似三角形的面积比是4：9，
∴这两个相似三角形的相似比是2：3，
∵其对应角平分线的比等于相似比，
∴它们对应的角平分线比是2：3．
故答案为：2：3．
【举一反三5】已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12，A1C1＝9，∠A1的平分线A1D1的长为6，求∠A的平分线的长．
【答案】解　∵△ABC∽△A1B1C1，AD、A1D1分别是∠A、∠A1的平分线，
∴=即=，
∴AD＝8，即∠A的平分线的长为8．
【举一反三6】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，△ADE∽△ACB，AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．求的值．
【答案】解　∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，
∴∠AGD＝∠AFC，
∴△AGD∽△AFC，
∴＝＝，
∴＝．
【题型13】判定定理的综合题型
【典型例题】如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A.∠ACD＝∠B B.∠ADC＝∠ACB C.= D.=
【答案】C
【解析】在△ACD和△ABC中，∠BAC＝∠DAC，
A．∠ACD＝∠B，利用两组对应角相等的三角形相似，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
B．∠ADC＝∠ACB，利用两组对应角相等的三角形相似，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
C．=，不能证明△ACD∽△ABC，符合题意；
D．=，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC纸片中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝7，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵AO：AC＝1：3，
∴AO：OC＝1：2，
∵AD∥BC，AD＝7，
∴△OAD∽△OCB，
∴AD：BC＝AO：OC＝1：2，
∴BC＝2AD＝14．
故选：B．
【举一反三2】如图，△ABC中，点D．E分别在AB．AC边上，有下列条件：①∠ADE＝∠C，②=，③=，④=，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵∠DAE＝∠BAC，
∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
∴若添加∠ADE＝∠C，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似；
∵∠DAE＝∠BAC，=，
∴△ADE∽△ABC，
∴若添加=，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似；
∵∠DAE＝∠BAC，=，
∴△ADE∽△ACB，
∴若添加=，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似；
当=时，没有∠ADE＝∠ABC这一条件，则条件②不能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似；
故选：C．
【举一反三3】在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①=；②=；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有　 　组．
【答案】3
【解析】①②组合，
∵=，=，
∴==，
∴△ABC∽△A′B′C′（三条对应边的比相等的三角形相似）；
②④组合，
∵=，④∠C＝∠C′，
∴△ABC∽△A′B′C′（对应边成比例且夹角相等的三角形相似）；
③④组合，
∵∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，
∴△ABC∽△A′B′C′（有两角对应相等的三角形相似）．
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
故答案为：3．
【举一反三4】如图，BD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）下列结论中，所有正确结论的序号是 　 　．
①△ABD∽△ACE；
②△EBF∽△DCF；
③△BEC∽△CDB；
④△DEF∽△CBF．
【答案】（1）证明　∵BD，CE是△ABC 的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴=，
∴=，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
（2）解　∵∠AEC＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，∠BFE＝∠CFD，
∴△EBF∽△DCF；
在△BEC与△CDB中只有∠BEC＝∠CDB＝90°，故不能判定△BEC∽△CDB；
∵△EBF∽△DCF，
∴=，
∴=，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF∽△CBF．
故答案为：①②④．
【题型14】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
【典型例题】如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的三角形与图中△ABC相似的是（　　）
A.△FBE B.△BED C.△DFE D.△ABE
【答案】B
【解析】由题意可得：∠BDE＝90°+45°＝135°，∠BCA＝90°+45°＝135°，
BD＝1，DE＝，BC＝2，AC＝，
∵＝＝，＝，
∴＝，
又∵∠BDE＝∠BCA，
∴△BDE∽△ACB．
故选：B．
【举一反三1】如图，∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝DE，那么下列结论正确的是（　　）
A.∠1+∠2+∠3＝135°
B.△ABD∽△EBA
C.△ACD∽△ECA
D.以上结论都不对
【答案】C
【解析】∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠1＝45°．
设AB＝BC＝CD＝DE＝1，则AC＝，CE＝2，
∴＝，＝＝，
∵∠ACD＝∠ACE，
∴△ACE∽△DCA，
故选：C．
【举一反三2】满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形是（　　）
A.∠A＝60°，AB＝5cm，AC＝10cm；∠A'＝60°，A'B'＝3cm，A'C'＝10cm
B.∠A＝45°，AB＝4cm，BC＝6cm；∠D＝45°，DE＝2cm，DF＝3cm
C.∠A＝∠D＝30°，AB＝8cm，BC＝4cm；DF＝6cm，FE＝3cm
D.∠A＝∠A'，且AB A'C'＝AC A'B'
【答案】D
【解析】A．∵∠A＝60°，AB＝5cm，AC＝10cm；∠A′＝60°，A′B′＝3cm，A′C′＝10cm，
∴∠A＝∠A′，＝，＝1，
∴≠，
∴△ABC和△A′B′C′不相似；
B．∵∠A＝45°，AB＝4cm，BC＝6cm；∠D＝45°，DE＝2cm，DF＝3cm，
∴∠A＝∠D，＝＝2，
但是∠A不是夹角，
∴不相似；
C．∵∠A＝∠D＝30°，AB＝8cm，BC＝4cm；DF＝6cm，FE＝3cm，
∴＝＝，
又∵∠A．∠D不是夹角，
∴△ABC△DFE不相似；
D．∵∠A＝∠A′，且AB A′C′＝AC A′B′，
∴AB：A′B′＝AC：A′C′，
∴△ABC和△A′B′C′相似．
故选：D．
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，如果AC2＝AD AB，那么图中一定相似的三角形是 　 　．
【答案】△ADC和△ACB
【解析】∵AC2＝AD AB，
∴=，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
故答案为：△ADC和△ACB．
【举一反三4】如图，线段AB与CD相交于点P，AP＝5，CP＝3，BP＝10，DP＝6．求证：△APC∽△BPD．
【答案】证明　∵AP＝5，CP＝3，BP＝10，DP＝6，
∴=＝，=＝，
∴=，
又∵∠APC＝∠BPD，
∴△APC∽△BPD．
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD．CD上的点，且AE＝ED，DF＝DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）证明　∵ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝AB＝DC＝BC，
∵ED＝AE，
∴＝．
∵DF＝DC，
∴＝，
∴＝，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解　∵ABCD为正方形，
∴BG∥ED，
∴△EDF∽△GCF，
∴＝．
又∵DF＝DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．

展开更多......

收起↑