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24.2直角三角形的性质
【知识点1】含30度角的直角三角形 1
【知识点2】直角三角形的性质 2
【知识点3】直角三角形斜边上的中线 3
【题型1】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半 4
【题型2】两锐角互余 8
【题型3】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的应用 10
【题型4】直角三角形斜边中线等于斜边一半 13
【题型5】直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用 17
【题型6】直角三角形三边关系 22
【知识点1】含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
1.（2024春 武陟县期中）如图，等边三角形DEF的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可证△BED≌△ADF，△ADF≌△CFE，则AD=BE，由直角三角形的性质得，，因为，所以．
【解答】解：∵∠DEB=90°，
∴∠BDE=90°-60°=30°，
∴∠ADF=180-30°-60°=90°，
同理∠EFC=90°，
又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF，
∴△BED≌△ADF（AAS），△ADF≌△CFE（AAS），△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【知识点2】直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
1.（2024秋 房山区期末）如图，是一副三角板，用它们可以画出一些角．在15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角中，能画出的角有（　　）
A．11个 B．10个 C．9个 D．8个
【答案】A
【分析】根据角的和差计算即可解答．
【解答】解：一副三角板中，角的度数有：30°，60°，90°，45°，
由这4个角中的两个可以作出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°，
所以用一副三角板可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，
故选：A．
【知识点3】直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
1.（2024春 娄星区校级期末）已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=5cm,则AC=（　　）cm.
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】D
【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，BD=5cm,BD是斜边AC上的中线，
∴，
∴AC=10cm.
故选：D．
【题型1】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半
【典型例题】如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，且CE＝CD，若EF＝2，则DF的长为（　　）
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，DE⊥AC，DE平分∠ABC，
∴，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∵∠ACB＝60°，且是△CDE的外角，
∴∠CED+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
在△AEF中，∠A＝60°，且∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即EF⊥AB，
∴△BEF中，∠BFE＝90°，
在Rt△BEF中，∠ABE＝30°，EF＝2，
∴BE＝2EF＝2×2＝4，
在△BDE中，∠EBD＝∠D＝30°，
∴DE＝BE＝4，
∴DF＝DE+EF＝4+2＝6，
故选：C．
【举一反三1】如图，在直角三角形ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（　　）
A.2 B.3 C.4 D.
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故选：C．
【举一反三2】如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若BD＝2，则DF等于（　　）
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】B
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°，
∵∠ACB＝∠EDC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴ED＝DC＝BC﹣BD＝5﹣2＝3，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝6．
故选：B．
【举一反三3】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠D＝15°，AC＝2，AB＝BD，则BD＝　　．
【答案】4
【解析】∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠D＝15°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴BD＝4，
故答案为：4．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE，则AC的长为　　．
【答案】2
【解析】∵∠B＝∠C＝60°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，
∵DE⊥BC于E，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE＝1，
∵D平分AB，
∴AB＝2BD＝2，
∴AC＝AB＝2，
故答案为：2．
【举一反三5】学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好的理解和运用相关定理或结论．
[结论证明]证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，∠A＝30°．
求证：．
【答案】证明：延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD，
∵BC＝CD，AC⊥BC，
∴AB＝AD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
∵，
∴，
故答案为：．
【题型2】两锐角互余
【典型例题】在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°，则另一个锐角的度数是（　　）
A.65° B.35° C.25° D.45°
【答案】C
【解析】由题意知，另一个锐角的度数为90°﹣65°＝25°，
故选：C．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝50°，则∠B等于 （　　）
A.55° B.50° C.45° D.40°
【答案】D
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，
∴∠A+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠B＝40°．
故选：D．
【举一反三2】（）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，∠CAD：∠DAB＝2：5，∠ADC的度数为（　　）
A.55° B.65° C.75° D.85°
【答案】C
【解析】∵∠CAD：∠DAB＝2：5，
∴令∠CAD＝2x°，DAB＝5x°，
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝5x°，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠DAB+∠CAD＝90°，
∴5x+5x+2x＝90，
∴x＝7.5，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝10x°＝75°．
故选：C．
【举一反三3】如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是（　　）
A.30° B.45° C.56° D.60°
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝56°，
∴∠ACD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DCB＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠EDB，则∠AED＝　　°．
【答案】90
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝∠EDB，
∴∠B+∠EAB＝90°，
∴∠BED＝90°，
∴∠AED＝90°．
故答案为：90．
【举一反三5】在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为　　．
【答案】90°或70°
【解析】当∠A为直角时，∠A＝90°，
当∠C为直角时，∠A+∠B＝90°，
∵∠A比∠B的3倍还多10°，
∴∠A＝3∠B+10°，
∴3∠B+10°+∠B＝90°，
∴∠B＝20°，
∴∠A＝70°，
故答案为：90°或70°．
【举一反三6】一个直角三角形，有一个锐角是65°，另一个锐角是　　°．
【答案】25
【解析】设另一个锐角的度数为x，
则x+65°＝90°，
解得：x＝25°，
故答案为：25．
【题型3】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的应用
【典型例题】如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8 cm，则DE的长为（　　）
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
【答案】B
【解析】∵∠A＝30°，DC＝8 cm，D是斜梁AB的中点，
∴CDAB，
∴AB＝2CD＝2×8＝16，
∵∠A＝30°，
∴BCAB＝8，
∵BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴DEBC8＝4 cm．
故选：B．
【举一反三1】将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AC的长为（　　）
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
【答案】B
【解析】如图：
由题意得：∠A＝60°，BC＝3﹣1＝2（ cm），BC∥DE，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝2 cm，
故选：B．
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到．△DEF．若四边形ABED的面积为15，则平移距离为　　．
【答案】3
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝10，
∴ACAB＝5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于15，
∴AC BE＝15，即5BE＝15，
∴BE＝3，
即平移距离等于3．
故答案为：3．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积．
【答案】解：延长AB，作CD⊥AB的延长线于点D，
∵∠A＝∠C＝15°，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，∠DBC＝∠A+∠BCA＝30°，
∴，
∴△ABC的面积为：．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝14，D为BC上一点，AD＝AC，CD＝6，求BD的长．
【答案】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵AB＝14，
∴BEAB＝7，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CECD＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝7﹣3＝4，
∴BD的长为4．
【题型4】直角三角形斜边中线等于斜边一半
【典型例题】（）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，中线AD⊥中线CE，且相交于F，已知AC＝4，则AB的长为（　　）
A.2 B.4 C. D.
【答案】B
【解析】∵AD、CE是△ABC的中线，
∴F是△ABC的重心，
∴EF：CF＝1：2，
令EF＝x，则CF＝2x，
∴CE＝EF+CF＝3x，
∵∠ACB＝90°，
∴CEAB，
∵E是AB的中点，
∴AE＝CE＝3x，
∴AF2＝AE2﹣EF2＝8x2，
∵AC2＝CF2+AF2，
∴（2x）2+8x2＝42，
∴x，
∴AB＝2CE＝6x＝4．
故选：B．
【举一反三1】在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝2，那么AB的长为（　　）
A.1 B.2 C.4 D.
【答案】C
【解析】∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴AB＝2CD＝4，
故选：C．
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，连接AD，若AB＝5，AD＝6.5，则AC＝　　．
【答案】12
【解析】∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，D为斜边BC的中点，AD＝6.5，
∴BC＝2AD＝13，
由勾股定理得：AC12．
故答案为：12．
【举一反三3】如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，AC＝4，则BD的长为　　．
【答案】2
【解析】在△ABC中，∵∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，
∴AC＝2BD，
∵AC＝4，
∴BD＝2．
故答案为：2．
【举一反三4】如图，在△ABC和△ADC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，联结AC与BD交于点O，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN垂直平分BD．
【答案】证明：如图，
连接BM，DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BMAC， CM＝DMAC，
∴BM＝DM，
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD，
∴MN垂直平分BD．
【举一反三5】证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：在Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线．
求证：CDAB．
【答案】证明：如图，延长CD到E，使得DE＝CD，连接AE，BE．
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∴四边形ACBE是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE是矩形．
∴AB＝CE，
∴CDCE，
∵AB＝CE，
∴CDAB．
【题型5】直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用
【典型例题】如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.2 km，则M，C之间的距离是（　　）
A.0.8 km B.1.6 km C.2.0 km D.3.2 km
【答案】B
【解析】由题意可知，△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴MCAB3.2＝1.6（km）．
故选：B．
【举一反三1】如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
【答案】B
【解析】在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，
∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，
∴OPAB＝a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a，
故选：B．
【举一反三2】某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MO，NO恰好互相垂直，小径MN的中点P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1 km，则P，O两点间距离为（　　）
A.0.5 km B.0.75 km C.1 km D.2 km
【答案】A
【解析】连接OP，
∵MO⊥NO，
∴∠MON＝90°，
∵P是MN中点，
∴POMN1＝0.5（km），
∴P，O两点间距离为0.5 km．
故选：A．
【举一反三3】如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
【答案】B
【解析】在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，
∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，
∴OPAB＝a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a，
故选：B．
【举一反三4】如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，BD，CE是△ABC的两条高，连接DE，分别取BC，DE的中点M，N，则MN的长是（　　）
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】连接MD，ME，
∵BD，CE是△ABC的两条高，M是BC中点，
∴EMBC，DMBC，
∴ME＝MD，
∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，
∴ADAB4＝2，
∴BDAD＝2，
∵CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4，
∴BC2，
∴ME＝MD，
∵EMBC，M是BC中点，
∴ME＝MB，
∴∠MBE＝∠MEB，
同理：∠MCD＝∠MDC，
∴∠MBE+∠MCD＝∠MEB+∠MDC，
∵∠A＝60°，
∴∠MBE+∠MCD＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠MBE+∠MCD+∠MEB+∠MDC+∠BME+∠CMD＝360°，
∴∠BME+∠CMD＝120°，
∴∠DME＝180°﹣（∠BME+∠CMD）＝60°，
∴△MED是等边三角形，
∵N是DE中点，
∴MN⊥DE，
∴MNMD．
故选：C．
【举一反三5】如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是　　．
【答案】13
【解析】∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，
∴在Rt△BCE中，EMBC＝4，
在Rt△BCF中，FMBC＝4，
又∵EF＝5，
∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝4+4+5＝13．
【举一反三6】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝4，BC＝6，则△EFM的周长是　　．
【答案】10
【解析】∵CF⊥AB，M为BC的中点，
∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，
∴FMBC6＝3，
同理可得，MEBC6＝3，
又∵EF＝4，
∴△EFM的周长＝EF+ME+FM＝4+3+3＝10．
【举一反三7】如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是　　．
【答案】13
【解析】∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，
∴在Rt△BCE中，EMBC＝4，
在Rt△BCF中，FMBC＝4，
又∵EF＝5，
∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝4+4+5＝13．
【题型6】直角三角形三边关系
【典型例题】已知在直角三角形中斜边长为10，斜边上的高为，两直角边的比为3：4，则较短边的长为（　　）
A.3 B.6 C.8 D.5
【答案】B
【解析】如图：设BC边为3x，则AC边为4x，
则AC BCAB CD，
即3x×4x，
解得：x＝2，3x＝6，
∴较短边的长为，6．
故选：B．
【举一反三1】如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（　　）
A.3 B.3.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】∵旗杆的高度为AB＝3.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：3米．
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABD中，∠D＝90°．C是BD上一点，已知CB＝7，AB＝15，AD＝9，则DC的长是（　　）
A.5 B.9 C.6 D.15
【答案】A
【解析】∵∠D＝90°，AB＝15，AD＝9，
∴，
∴DC＝BD﹣CB＝12﹣7＝5，
故选：A．
【举一反三3】Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝　　．
【答案】2
【解析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC2，
故答案为：2．
【举一反三4】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．若AC，CD＝5，BC＝13，求AB的长．
【答案】解：因为CD⊥AB，所以∠CDA＝∠CDB＝90°．
在Rt△ADC中，AD．
在Rt△BDC中，BD．
所以AB＝AD+BD＝3+12＝15．24.2直角三角形的性质
【知识点1】含30度角的直角三角形 1
【知识点2】直角三角形的性质 2
【知识点3】直角三角形斜边上的中线 2
【题型1】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半 3
【题型2】两锐角互余 4
【题型3】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的应用 5
【题型4】直角三角形斜边中线等于斜边一半 6
【题型5】直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用 8
【题型6】直角三角形三边关系 10
【知识点1】含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
1.（2024春 武陟县期中）如图，等边三角形DEF的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB的长为（　　）
A． B． C． D．
【知识点2】直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
1.（2024秋 房山区期末）如图，是一副三角板，用它们可以画出一些角．在15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角中，能画出的角有（　　）
A．11个 B．10个 C．9个 D．8个
【知识点3】直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
1.（2024春 娄星区校级期末）已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=5cm,则AC=（　　）cm.
A．3 B．5 C．6 D．10
【题型1】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半
【典型例题】如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，且CE＝CD，若EF＝2，则DF的长为（　　）
A.3 B.4 C.6 D.8
【举一反三1】如图，在直角三角形ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（　　）
A.2 B.3 C.4 D.
【举一反三2】如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，若BD＝2，则DF等于（　　）
A.7 B.6 C.5 D.4
【举一反三3】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠D＝15°，AC＝2，AB＝BD，则BD＝　　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE，则AC的长为　　．
【举一反三5】学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好的理解和运用相关定理或结论．
[结论证明]证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，∠A＝30°．
求证：．
【题型2】两锐角互余
【典型例题】在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°，则另一个锐角的度数是（　　）
A.65° B.35° C.25° D.45°
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝50°，则∠B等于 （　　）
A.55° B.50° C.45° D.40°
【举一反三2】（）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，∠CAD：∠DAB＝2：5，∠ADC的度数为（　　）
A.55° B.65° C.75° D.85°
【举一反三3】如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是（　　）
A.30° B.45° C.56° D.60°
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠EDB，则∠AED＝　　°．
【举一反三5】在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为　　．
【举一反三6】一个直角三角形，有一个锐角是65°，另一个锐角是　　°．
【题型3】直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的应用
【典型例题】如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8 cm，则DE的长为（　　）
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
【举一反三1】将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AC的长为（　　）
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到．△DEF．若四边形ABED的面积为15，则平移距离为　　．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝14，D为BC上一点，AD＝AC，CD＝6，求BD的长．
【题型4】直角三角形斜边中线等于斜边一半
【典型例题】（）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，中线AD⊥中线CE，且相交于F，已知AC＝4，则AB的长为（　　）
A.2 B.4 C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝2，那么AB的长为（　　）
A.1 B.2 C.4 D.
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，连接AD，若AB＝5，AD＝6.5，则AC＝　　．
【举一反三3】如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，AC＝4，则BD的长为　　．
【举一反三4】如图，在△ABC和△ADC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，联结AC与BD交于点O，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN垂直平分BD．
【举一反三5】证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：在Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线．
求证：CDAB．
【题型5】直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用
【典型例题】如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.2 km，则M，C之间的距离是（　　）
A.0.8 km B.1.6 km C.2.0 km D.3.2 km
【举一反三1】如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
【举一反三2】某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MO，NO恰好互相垂直，小径MN的中点P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1 km，则P，O两点间距离为（　　）
A.0.5 km B.0.75 km C.1 km D.2 km
【举一反三3】如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
【举一反三4】如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，BD，CE是△ABC的两条高，连接DE，分别取BC，DE的中点M，N，则MN的长是（　　）
A.2 B. C. D.
【举一反三5】如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是　　．
【举一反三6】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝4，BC＝6，则△EFM的周长是　　．
【举一反三7】如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是　　．
【题型6】直角三角形三边关系
【典型例题】已知在直角三角形中斜边长为10，斜边上的高为，两直角边的比为3：4，则较短边的长为（　　）
A.3 B.6 C.8 D.5
【举一反三1】如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（　　）
A.3 B.3.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图，在△ABD中，∠D＝90°．C是BD上一点，已知CB＝7，AB＝15，AD＝9，则DC的长是（　　）
A.5 B.9 C.6 D.15
【举一反三3】Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝　　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．若AC，CD＝5，BC＝13，求AB的长．

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