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华东师大版九年级上册 第22章 一元二次方程 单元测试
一、选择题
1.M＝3x2﹣5x﹣1，N＝ax2﹣5x﹣7，其中x为任意数．若M的值总大于N的值，则a可取的数为（　　）
A.5 B.4 C.π D.2
2.二次三项式2x2﹣4x+1有____，该值为____．（　　）
A.最大值；1 B.最小值；1 C.最大值；﹣1 D.最小值；﹣1
3.当x是____时，多项式x2+2x+5的最小值是____．（　　）
A.﹣1，4 B.﹣1，5 C.0，5 D.0，4
4.一元二次方程x2﹣1＝0的解是（　　）
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.此方程无实数解
5.关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+5﹣a＝ax+1的一次项系数为4，则常数项为（　　）
A.1 B.﹣1 C.0 D.5
6.两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（　　）
A.11 B.12 C.13 D.14
7.关于x的方程x2﹣bx﹣c＝0的两根为1和﹣2，则b，c的值分别为（　　）
A. b＝﹣1，c＝﹣2 B. b＝﹣1，c＝2 C. b＝3，c＝2 D. b＝1，c＝﹣2
8.若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则方程的另一个解是（　　）
A.2 B.﹣1 C.0 D.﹣2
9.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5 cm2，则点P运动的时间是（　　）
A. 1 s B. 4 s C. 5 s或1 s D. 4 s或1 s
10.若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　）
A.27 B.36 C.27或36 D.18
11.一个容器盛满纯药液30升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的体积，这时容器中剩下的纯药液是升，则每次倒出药液（　　）
A.10升 B.20升 C.20升或10升 D.以上答案都不对
12.小马在解关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（　　）
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有一个根是x＝2
二、填空题
13.在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程　 　．
14.某单位今年六月份面向社会提供就业岗位32个，并按计划逐月稳步增长，预计八月份将提供岗位50个．则七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为　　 ．
15.已知关于x的方程x2+3mx+m2＝0的一个根是x＝1，那么m＝　 　.
16.已知方程：①2x2﹣3＝0；②＝1；③y﹣y2+1＝0；④ay2+2y+c＝0；⑤y﹣x2＝0；⑥（x+1）（x﹣3）＝x2+5，其中，整式方程有　 　，一元二次方程有　 　.（填序号）
17.若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为　 　．
三、解答题
18.如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19 m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30 m．
（1）若花圃的面积为100 m2，求花圃一边AB的长；
（2）花圃的面积能达到120 m2吗？说明理由．
19.用配方法解一元二次方程ax2+bx﹣c＝0（a≠0，c＞0）得到（x﹣c）2＝4c2，从而解得方程一根为1，求a﹣3b的值．
20.已知一元二次方程（x﹣3）2＝1．
（1）求方程的根．
（2）若方程的两个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．
21.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0，问：是否存在实数m，使方程的两根的倒数和为1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22.[材料阅读]
若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值．
解：由题意得（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0．
∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0．
解得m＝﹣2，n＝2．
[问题解决]
（1）对于代数式x2﹣2xy+2y2+4y+8，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值；
（2）已知△ABC的边长a，b，c满足a2+b2＝6a+10b﹣34，若c是最长边且为偶数，求△ABC的周长．
华东师大版九年级上册 第22章 一元二次方程 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.M＝3x2﹣5x﹣1，N＝ax2﹣5x﹣7，其中x为任意数．若M的值总大于N的值，则a可取的数为（　　）
A.5 B.4 C.π D.2
【答案】D
【解析】∵M＝3x2﹣5x﹣1，N＝ax2﹣5x﹣7，
∴M﹣N＝（3x2﹣5x﹣1）﹣（ax2﹣5x﹣7）＝（3﹣a）x2+6＞0，
∵M的值总大于N的值，
∴3﹣a≥0，即a≤3．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
2.二次三项式2x2﹣4x+1有____，该值为____．（　　）
A.最大值；1 B.最小值；1 C.最大值；﹣1 D.最小值；﹣1
【答案】D
【解析】∵2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，
又∵2（x﹣1）2≥0，
∴2（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
∴当x＝1时，二次三项式2x2﹣4x+1有最小值是﹣1．
故选：D．
3.当x是____时，多项式x2+2x+5的最小值是____．（　　）
A.﹣1，4 B.﹣1，5 C.0，5 D.0，4
【答案】A
【解析】设y＝x2+2x+5，
配方法得：y＝（x+1）2+4，
∴当x＝﹣1时多项式有最小值且最小值为4．
故选：A．
4.一元二次方程x2﹣1＝0的解是（　　）
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.此方程无实数解
【答案】C
【解析】由原方程，得（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x+1＝0或x﹣1＝0，
解得，x＝﹣1或x＝1，
故选：C．
5.关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+5﹣a＝ax+1的一次项系数为4，则常数项为（　　）
A.1 B.﹣1 C.0 D.5
【答案】B
【解析】x2+（2a﹣1）x+5﹣a＝ax+1，
移项得：x2+（2a﹣1）x+5﹣a﹣ax﹣1＝0，
一般形式为：x2+（a﹣1）x+4﹣a＝0，
∵一次项的系数为4，
∴a﹣1＝4，a＝5，
∴常数项为4﹣a＝4﹣5＝﹣1，
故选：B．
6.两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（　　）
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】B
【解析】设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），
依题意，得：x（x﹣1）＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：B．
7.关于x的方程x2﹣bx﹣c＝0的两根为1和﹣2，则b，c的值分别为（　　）
A. b＝﹣1，c＝﹣2 B. b＝﹣1，c＝2 C. b＝3，c＝2 D. b＝1，c＝﹣2
【答案】B
【解析】由题意，1+（﹣2）＝b，1×（﹣2）＝﹣c，
∴b＝﹣1，c＝2，故B正确．
故选：B．
8.若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则方程的另一个解是（　　）
A.2 B.﹣1 C.0 D.﹣2
【答案】B
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得x1x2＝﹣3，
∵x＝3为方程的解，
∴3x＝﹣3，
解得x＝﹣1．
∴方程的另一个解是x＝﹣1．
故选：B．
9.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5 cm2，则点P运动的时间是（　　）
A. 1 s B. 4 s C. 5 s或1 s D. 4 s或1 s
【答案】A
【解析】设点P运动的时间为t s，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，
依题意得：（6﹣t）×2t＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5，
∵当Q到达点C时两点同时停止运动，
∴2t≤8，
∴t≤4，
∴t＝1．
故选：A．
10.若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　）
A.27 B.36 C.27或36 D.18
【答案】B
【解析】当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，
∴原方程为x2﹣12x+27＝0，
∴x1＝3，x2＝9，
∵3+3＜9，
∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形，
∴k＝27舍去，
当3为底边长时，Δ＝（﹣12）2﹣4k＝0，
解得：k＝36，
∴原方程为x2﹣12x+36＝0，
∴x1＝x2＝6，
∵3+6＝9＞6，
∴长度为3，6，6的三条边能围成三角形，
∴k＝36符合题意．
故选：B．
11.一个容器盛满纯药液30升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的体积，这时容器中剩下的纯药液是升，则每次倒出药液（　　）
A.10升 B.20升 C.20升或10升 D.以上答案都不对
【答案】B
【解析】设每次倒出液体y L，由题意得：30﹣y﹣ y＝，
解得：y＝40（舍去）或y＝20．
所以每次倒出20升．
故选：B．
12.小马在解关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（　　）
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有一个根是x＝2
【答案】C
【解析】∵方程x2﹣4x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16+4c＝0，
∴c＝﹣4，
∴原方程为x2﹣4x﹣4＝0，
∵Δ＝16+4×4＝32＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
二、填空题
13.在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程　 　．
【答案】x2﹣7x+2＝0
【解析】∵小明看错了一次项系数b，
∴c＝x1 x2＝1×2＝2，
∵小刚看错了常数项c，
∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，
∴b＝﹣7．
∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．
故答案为：x2﹣7x+2＝0．
14.某单位今年六月份面向社会提供就业岗位32个，并按计划逐月稳步增长，预计八月份将提供岗位50个．则七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为　　 ．
【答案】25%
【解析】根据题意，得32（1+x）2＝50，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为25%．
故答案为：25%．
15.已知关于x的方程x2+3mx+m2＝0的一个根是x＝1，那么m＝　 　.
【答案】
【解析】把x＝1代入方程可得m2+3m+1＝0，
解得m＝．
故答案为：．
16.已知方程：①2x2﹣3＝0；②＝1；③y﹣y2+1＝0；④ay2+2y+c＝0；⑤y﹣x2＝0；⑥（x+1）（x﹣3）＝x2+5，其中，整式方程有　 　，一元二次方程有　 　.（填序号）
【答案】①③④⑤⑥；①③
【解析】①2x2﹣3＝0；③y﹣y2+1＝0；④ay2+2y+c＝0；⑤y﹣x2＝0；⑥（x+1）（x﹣3）＝x2+5，中的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数，属于整式方程．
①2x2﹣3＝0、③y﹣y2+1＝0符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；
当a＝0时，方程ay2+2y+c＝0属于一元一次方程；
⑤y﹣x2＝0中含有2个未知数，属于二元二次方程；
⑥由（x+1）（x﹣3）＝x2+5得到：﹣2x﹣8＝0，未知数x的最高次数是1，属于一元一次方程．
故答案为：①③④⑤⑥；①③．
17.若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为　 　．
【答案】x1＝﹣1，x2＝
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0有唯一实数根，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×1＝0，解得a＝±2，
∵关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0是一元二次方程，
∴a＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0为x2+2x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，
∴x＝﹣1是x的一元二次方程4x2+bx+1＝0的根，
∴﹣4×（﹣1）2﹣b+1＝0，
∴b＝﹣3，
∴关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0为﹣4x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝．
三、解答题
18.如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19 m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30 m．
（1）若花圃的面积为100 m2，求花圃一边AB的长；
（2）花圃的面积能达到120 m2吗？说明理由．
【答案】解：（1）设AB的长为x米，
由题意可得：x（30﹣2x）＝100，
解得：x1＝5，x2＝10，
∵30﹣2x≤19，
∴x＝10，
答：AB的长为10米；
（2）花圃的面积不能达到120 m2．理由如下：
设AB的长为y米，
由题意可得：y（30﹣2y）＝120，
∴Δ＝225﹣240＝﹣15＜0，
∴方程无解，
∴花圃的面积不能达到120 m2．
【解析】
19.用配方法解一元二次方程ax2+bx﹣c＝0（a≠0，c＞0）得到（x﹣c）2＝4c2，从而解得方程一根为1，求a﹣3b的值．
【答案】解：由（x﹣c）2＝4c2可得x﹣c＝±2c，
∴x＝c±2c，
即x＝﹣c或x＝3c，
∵方程一根为1，且c＞0，
则3c＝1，即c＝，
∴原方程为（x﹣）2＝，
整理得：x2﹣x﹣＝0，
∴a＝1，b＝﹣，
∴a﹣3b＝1+2＝3．
【解析】
20.已知一元二次方程（x﹣3）2＝1．
（1）求方程的根．
（2）若方程的两个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．
【答案】解：（1）∵（x﹣3）2＝1，
∴x﹣3＝±1，
解得x1＝4，x2＝2；
（2）∵方程的两个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴当底边长为4，腰长为2时，4＝2+2，此时不能构成三角形；
当底边长为2，腰长为4时，能构成三角形，
∴△ABC的周长为2+4+4＝10．
【解析】
21.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0，问：是否存在实数m，使方程的两根的倒数和为1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：设方程的两个根分别为α，β，则α+β＝3，αβ＝m﹣3，
由+＝＝＝1，
解得：m＝6，
经检验：m＝6是分式方程＝1的解，
∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣3）＝21﹣4m≥0，
∴m≤．
∴m＝6舍去，m无实数根．
∴不存在这样的m的值．
【解析】
22.[材料阅读]
若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值．
解：由题意得（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0．
∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0．
解得m＝﹣2，n＝2．
[问题解决]
（1）对于代数式x2﹣2xy+2y2+4y+8，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值；
（2）已知△ABC的边长a，b，c满足a2+b2＝6a+10b﹣34，若c是最长边且为偶数，求△ABC的周长．
【答案】解：（1）代数式存在最小值，
∵x2﹣2xy+2y2+4y+8＝（x﹣y）2+（y+2）2+4，
又∵（x﹣y）2+（y+2）2≥0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2+4≥4，
∴代数式x2﹣2xy+2y2+4y+8存在最小值，
当代数式取最小值时，解得y＝﹣2，x＝﹣2，
∴代数式的最小值为4，
答：代数式存在最小值，y＝﹣2，x＝﹣2，最小值为4；
（2）∵a2+b2＝6a+10b﹣34，
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2＝0，
解得a＝3，b＝5，
∵△ABC的边长a，b，c，
∴2＜c＜8，
∵c是最长边且为偶数，
∴c＝6，
∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+5+6＝14，
答：△ABC的周长为14．
【解析】

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