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华东师大版九年级上册 第23章 图形的相似 单元测试
一、选择题
1.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（　　）
A.△AEF∽△ABF B.△ABF∽△ECF C.△ADE∽△AEF D.△ADE∽△ECF
2.根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　）
A.北偏东40°
B.某地江滨路
C.光明电影院6排
D.东经116°，北纬42°
3.如图是某次战役中缴获的敌人防御工事的地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为（8，4），四号暗堡的坐标为（﹣4，6），另有情报可知，指挥部坐标为（0，0），则指挥部的位置大约为（　　）
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
4.将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（　　）
A.边的长度
B.图形的周长
C.图形的面积
D.角的度数
5.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　）
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
6.已知△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，若A'C'＝4，则AC＝（　　）
A.6 B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（　　）
A.（，1） B.（，﹣1） C.（2，1） D.（0，2）
8.若3x＝4y（y≠0），则的值是（　　）
A. B. C. D.
9.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.6 B.4 C.3 D.2
10.对于题目：“在长为6宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（　　）
A.甲方案正确，周长和的最大值错误
B.乙方案错误，周长和的最大值正确
C.甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D.甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
11.数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且 ．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A.嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以
B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
12.我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（　　）
A.（ 2，﹣1） B.（ 2， ） C.（2，2﹣） D.（，1）
二、填空题
13.如图，AD．BC相交于点O，点E、F分别在BC．AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝6，EO＝4，BO＝5，AF＝6，那么AD＝　 　．
14.△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的对应边高之比为　 　．
15.两个相似三角形一对应中线之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为　 　 ．
16.如图，点D、E都在△ABC的边上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，PQ＝3，则△ABC的周长为 　 　．
17.如图，将一块含45°角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边BC与x轴交于点D．已知∠ABC＝45°，点A坐标为，点B的坐标为（0，﹣4），则点D的坐标为 　 　．
三、解答题
18.已知△ABC∽△DEF，BC＝3，EF＝2，AC＝12，求DF的长．
19.如图，直线l1∥l2∥l3，若=，EF＝9，求DE的长．
20.已知a：b：c＝3：2：7，求的值．
21.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．
22.已知：点D、E、F分别是等边△ABC三边上的三等分点，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R点，（如图所示），求△PQR的面积与△ABC面积的比值．
华东师大版九年级上册 第23章 图形的相似 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（　　）
A.△AEF∽△ABF B.△ABF∽△ECF C.△ADE∽△AEF D.△ADE∽△ECF
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
在△ADE和△ECF中，
，
∴△ADE∽△ECF，选项D正确；
△AEF与△ABF、△ABF与△ECF、△ADE与△AEF都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形，
故选：D．
2.根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　）
A.北偏东40°
B.某地江滨路
C.光明电影院6排
D.东经116°，北纬42°
【答案】D
【解析】根据题意可得，
北偏东40°无法确定位置，故选项A错误；
某地江滨路无法确定位置，故选项B错误；
光明电影院6排无法确定位置，故选项C错误；
东经116°，北纬42°可以确定一点的位置，故选项D正确，
故选：D．
3.如图是某次战役中缴获的敌人防御工事的地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为（8，4），四号暗堡的坐标为（﹣4，6），另有情报可知，指挥部坐标为（0，0），则指挥部的位置大约为（　　）
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
【答案】B
【解析】∵一号暗堡的坐标为（8，4），四号暗堡的坐标为（﹣4，6），
∴指挥部坐标为（0，0）大约在点B的位置，
故选：B．
4.将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（　　）
A.边的长度
B.图形的周长
C.图形的面积
D.角的度数
【答案】D
【解析】将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数，
故选：D．
5.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　）
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
【答案】C
【解析】因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C．有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．
故选：C．
6.已知△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，若A'C'＝4，则AC＝（　　）
A.6 B. C. D.
【答案】C
【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，
∴＝，
∵A′C′＝4，
∴AC＝，
故选：C．
7.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（　　）
A.（，1） B.（，﹣1） C.（2，1） D.（0，2）
【答案】A
【解析】如图，作AE⊥y轴于E，A′F⊥x轴于F．
∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°
∴∠AOE＝∠A′OF，
∵OA＝OA′，
∴△AOE≌△A′OF（A.A.S.），
∴OF＝OE＝，A′F＝AE＝1，
∴A′（，1）．
故选：A．
8.若3x＝4y（y≠0），则的值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵3x＝4y，
∴x＝y，
∴＝＝，
故选：B．
9.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.6 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】如图，连接DE，作AF⊥BC于F，交DE于M，DG与EH交于点O，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，AM＝FM，
∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，
∴△ADE的面积＝12×＝3，
∴四边形DBCE的面积＝12﹣3＝9，
∵HG＝BC，
∴DE＝HG，
∴△DOE的面积+△HOG的面积＝DE×AM＝△ADE的面积＝3，
∴图中阴影部分的面积＝9﹣3＝6，
故选：A．
10.对于题目：“在长为6宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（　　）
A.甲方案正确，周长和的最大值错误
B.乙方案错误，周长和的最大值正确
C.甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D.甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【答案】A
【解析】如图1中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为x，3x；y，3y，
则有3x+3y＝6，
∴x+y＝2，
∴两个矩形的周长的和为8x+8y＝16，
如图2中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为m，3m；n，3n，
则有m+n＝2，
∴两个矩形的周长的和为8m+8n＝16，
如果小矩形的长为2，则宽为，在小矩形的旁边剪下长矩形，则长矩形的最长边为6﹣＝，宽为，则这两个矩形周长和为16+＞16，所以甲乙两个方案均错误．
故选：D．
11.数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且 ．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A.嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以
B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【答案】D
【解析】嘉嘉的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；
淇淇的作法：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，
在△AEF和△CEG中，
∴△AEF≌△CEG（A.A.S.），
∴AF＝CG，EF＝EG，
∵AF∥BG，AB∥FG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB＝FG，
∵BD＝AB，GE＝FG，
∴BD＝EG，AF＝BG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以，
故选：D．
12.我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（　　）
A.（ 2，﹣1） B.（ 2， ） C.（2，2﹣） D.（，1）
【答案】D
【解析】如图：设AB与y轴交于点E，AD与x轴交于点F，DC与y轴交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝2，
由题意得：AD＝AD′＝2，DC＝D′C′＝2，GE＝AD＝2，AE＝AB＝1，
∵AB∥x轴，
∴∠AED′＝∠FOD′＝90°，
在Rt△AED′中，D′E＝＝＝，
由题意得：D′C′∥x轴，OE＝EG＝1，
∴OD′＝D′E﹣OE＝﹣1，
∴C′的坐标为（2，﹣1），
故选：A．
二、填空题
13.如图，AD．BC相交于点O，点E、F分别在BC．AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝6，EO＝4，BO＝5，AF＝6，那么AD＝　 　．
【答案】10
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵CE＝6，EO＝4，BO＝5，AF＝6，
∴＝，
∴DF＝4，
∴AD＝AF+DF＝6+4＝10．
故答案为：10．
14.△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的对应边高之比为　 　．
【答案】1：4
【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的对应边高之比为1：4，
故答案为：1：4．
15.两个相似三角形一对应中线之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为　 　 ．
【答案】
【解析】∵两个相似三角形一对应中线之比为2：7，
∴两个相似三角形一对应高之比为2：7，
∵较大三角形一边上的高为2，
∴较小三角形的对应边上的高为2×＝，
故答案为：．
16.如图，点D、E都在△ABC的边上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，PQ＝3，则△ABC的周长为 　 　．
【答案】30
【解析】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠ABQ＝∠EBQ，
∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，
∴∠BAQ＝∠BEQ，
∴AB＝BE，
同理：CA＝CD，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∴DE＝2PQ＝2×3＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝BE+CD+BC
＝BD+DE+AE+DE+BC
＝（BD+DE+AE）+DE+BC
＝BC+BC+DE
＝12+12+6
＝30．
故答案为：30．
17.如图，将一块含45°角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边BC与x轴交于点D．已知∠ABC＝45°，点A坐标为，点B的坐标为（0，﹣4），则点D的坐标为 　 　．
【答案】（2，0）
【解析】过点C作x轴的垂线，垂足为M，
则∠CAM+∠AVM＝90°，
又∵∠CAB＝90°，
∴∠CAM+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠ACM．
在△AOB和△AMC中，
，
∴△AOB≌△AMC（A.A.S.），
∴CM＝AO，AM＝OB．
又∵点A坐标为，点B的坐标为（0，﹣4），
∴CM＝AO＝，AM＝OB＝4，
∴OM＝4﹣，
则点C坐标为（）．
令直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线BC的函数解析式为y＝2x﹣4．
将y＝0代入函数解析式，
2x﹣4＝0，
解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
三、解答题
18.已知△ABC∽△DEF，BC＝3，EF＝2，AC＝12，求DF的长．
【答案】解　∵△ABC∽△DEF，
∴AC：DF＝BC：EF，
∵BC＝3，EF＝2，AC＝12，
∴DF＝8．
【解析】
19.如图，直线l1∥l2∥l3，若=，EF＝9，求DE的长．
【答案】解　∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
【解析】
20.已知a：b：c＝3：2：7，求的值．
【答案】解　∵a：b：c＝3：2：7，
∴a＝3k，b＝2k，c＝7k，
∴＝＝＝﹣．
【解析】
21.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．
【答案】解　连接MF，如图，
∵M是AC的中点，EF＝FC，
∴MF为△CEA的中位线，
∴AE＝2MF，AE∥MF，
∵NE∥MF，
∴＝＝1，＝＝，
∴BN＝NM，MF＝2NF，
设BN＝a，NE＝b，则NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，
∴AN＝3b，
∵AN∥MF，
∴＝＝＝，
∴NQ＝a，QM＝a，
∴BN：NQ：QM＝a：a：a＝5：3：2．
【解析】
22.已知：点D、E、F分别是等边△ABC三边上的三等分点，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R点，（如图所示），求△PQR的面积与△ABC面积的比值．
【答案】解　作AG∥BC交BE延长线于点G，作DH∥AB交CF于点H，
则得：
AG：BC＝AE：EC＝1：2，AG：BD＝3：4，
又由于DH：BF＝1：3，DH：AF＝1：6，
所以DR：AR＝1：6，DR：DA＝1：7，
从而S△CDR＝S△BFC＝S△ABC，
因此S△PQR：S△ABC＝1：7．
【解析】

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