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华东师大版九年级下册 第27章 圆 单元测试
一、选择题
1.4cos60°的值为(　　)
A. B. 2 C. D.
2.从1，2，3，4，5这五个数中随机取出一个数，取出的数是偶数的概率是(　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D.
3.如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A.12 B.10 C.4 D.5
4.如图，是的直径，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则（　　）
A. B. C. D.
7.若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，BD，CE是△ABC的两条高，连接DE，分别取BC，DE的中点M，N，则MN的长是（　　）
A.2 B. C. D.
10.设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（　　）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
11.如图，中，于点是半径为4的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（ ）
A.8 B. C.9 D.
12.如图，在的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连结，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是（ ）
A.点、、、四点共线
B.点是三条角平分线的交点
C.若是等边三角形，则
D.若，则
二、填空题
13.点，均在二次函数的图象上，则 ．（填“>”或“<”）
14.已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是 ．
15.如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则关于的方程的根为 ．

16.如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连结，的延长线交于点，则 ．
17.如图，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度米，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点为抛物线最高点，立柱，，都与轴垂直，，，，若，，和，，均三点共线．则立柱比 ，以及 ．
三、解答题
18.如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之间的距离；(保留根号)
(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈1.7，≈1.4)
19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，求边BC的长．
20.用描点法画出的图象.
（1）根据对称性列表：
（2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
（3）观察图象：
①抛物线与轴交点坐标是 ；
②抛物线与轴交点坐标是 ；
③当x满足 时，y＜0；
④它的对称轴是 ；
⑤当 时，随的增大而减小
21.如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这枚骰子掷出后：
(1)数字几朝上的概率最小？
(2)奇数面朝上的概率是多少？
22. [问题背景] “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
[实验操作]
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
[建立模型]
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
[反思优化]
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
[设计刻度]
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
华东师大版九年级下册 第27章 圆 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.4cos60°的值为(　　)
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】4cos60°＝4×＝2，故选：B.
2.从1，2，3，4，5这五个数中随机取出一个数，取出的数是偶数的概率是(　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D.
【答案】B
【解析】从1，2，3，4，5这五个数中随机取出一个数，取出的数是偶数的概率 ．
3.如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A.12 B.10 C.4 D.5
【答案】B
【解析】连结EF，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°
∴EF是直径
∴EF＝＝＝10
故选：B．
4.如图，是的直径，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
故选：A．
5.在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据弧长的公式，
得到： ．
故选：C．
6.如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在△ABC中，若∠C＝90°，sinA，cosB，
故选：A．
7.若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
而离y轴的距离最远，离y轴的距离最近，
∴．
故选：C．
8.如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，得：，
∴，
故选D．
9.如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，BD，CE是△ABC的两条高，连接DE，分别取BC，DE的中点M，N，则MN的长是（　　）
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】连接MD，ME，
∵BD，CE是△ABC的两条高，M是BC中点，
∴EMBC，DMBC，
∴ME＝MD，
∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，
∴ADAB4＝2，
∴BDAD＝2，
∵CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4，
∴BC2，
∴ME＝MD，
∵EMBC，M是BC中点，
∴ME＝MB，
∴∠MBE＝∠MEB，
同理：∠MCD＝∠MDC，
∴∠MBE+∠MCD＝∠MEB+∠MDC，
∵∠A＝60°，
∴∠MBE+∠MCD＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠MBE+∠MCD+∠MEB+∠MDC+∠BME+∠CMD＝360°，
∴∠BME+∠CMD＝120°，
∴∠DME＝180°﹣（∠BME+∠CMD）＝60°，
∴△MED是等边三角形，
∵N是DE中点，
∴MN⊥DE，
∴MNMD．
故选：C．
10.设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（　　）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】C
【解析】∵直线的图象与函数的图象分别交于点，
A．若，如图所示，

则，故A选项不合题意；
B．若，如图所示，

则或故B选项不合题意，
C．若，如图所示，

∴，故C选项正确，D选项不正确；
故选：C．
11.如图，中，于点是半径为4的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（ ）
A.8 B. C.9 D.
【答案】D
【解析】连结，
，，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
当取最大值时，的长最大，
是半径为2的上一动点，
当过圆心时，最大，
，，
，
的半径为4，
的最大值为，
长的最大值为，
故选：．
12.如图，在的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连结，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是（ ）
A.点、、、四点共线
B.点是三条角平分线的交点
C.若是等边三角形，则
D.若，则
【答案】C
【解析】A.以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点，
点在的角平分线上，
为的内切圆，
点在的角平分线上，但点不一定在的角平分线上，
所以A错误，不符合题意．
B.由题知，圆是的外接圆，则点是三条边的垂直平分线的交点，所以B错误，不符合题意．
C.若是等边三角形，由等边三角形性质可知，点、分别为、的中点，
为的中位线，
，
所以C正确，符合题意．
D.连结、，如图所示：
由题知，，则，
，
，
，
，所以D错误，不符合题意．
故选：C．
二、填空题
13.点，均在二次函数的图象上，则 ．（填“>”或“<”）
【答案】
【解析】∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴，
故答案为：．
14.已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵的半径为，点在外，
∴点到圆心的距离的取值范围是．
故答案为：．
15.如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则关于的方程的根为 ．

【答案】，
【解析】根据二次函数图象可得：当时，，
又因为二次函数关于直线对称，
所以当时，，
所以关于的方程的解为，，
故答案为：，．
16.如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连结，的延长线交于点，则 ．
【答案】
【解析】的内切圆与，分别相切于点，，
，，
，
，
∵，
，
故答案为：．
17.如图，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度米，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点为抛物线最高点，立柱，，都与轴垂直，，，，若，，和，，均三点共线．则立柱比 ，以及 ．
【答案】
【解析】根据题意，可知二次函数图象过，，故设抛物线为，
∵为抛物线顶点；
∴，，
∵轴，
∴点横坐标为，
∵轴，
∴、、、纵坐标相同，
∵轴，，
∴，，,，,；
∵轴，
∴，，
同理可得，，
设直线：，
则，
解得：
，
∵，，三点共线，
∴，即，
∴，，，，
∴，
，
；
∵，，，
∴，
∴，
，
故答案为：．
三、解答题
18.如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之间的距离；(保留根号)
(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈1.7，≈1.4)
【答案】解　(1)如图，作AD⊥BC于D.则AD＝10 m，
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴AD＝CD＝10 m，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴tan30°＝，
∴BD＝AD＝10 m，
∴BC＝BD＋DC＝(10＋10)m.
(2)结论：这辆汽车超速．理由：
∵BC＝10＋10≈27 m，
∴汽车速度＝27÷0.9＝30 m/s＝108 km/h，
∵108＞80，∴这辆汽车超速．
【解析】
19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，求边BC的长．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，
∴BD＝CD，CD5，
∴BC＝2CD＝10．
【解析】
20.用描点法画出的图象.
（1）根据对称性列表：
（2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
（3）观察图象：
①抛物线与轴交点坐标是 ；
②抛物线与轴交点坐标是 ；
③当x满足 时，y＜0；
④它的对称轴是 ；
⑤当 时，随的增大而减小
【答案】解　（1）根据对称性列表：
（2）描点、连线，函数图象如图所示：
（3）观察图象：
①抛物线与轴交点坐标是（0，-3）；
②抛物线与轴交点坐标是（-3，0），（1，0）；
③当-3④它的对称轴是直线x=-1；
⑤当x<-1时，随的增大而减小．
故答案为：①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3【解析】
21.如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这枚骰子掷出后：
(1)数字几朝上的概率最小？
(2)奇数面朝上的概率是多少？
【答案】解　(1)∵骰子有20个面，1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．
∴P(6朝上)＝＝，P(5朝上)＝＝，P(1朝上)＝，
P(2朝上)＝＝，P(3朝上)＝，P(4朝上)＝＝，
∴数字1朝上的概率最小；
(2)∵奇数包括了1、3、5，
∴P(奇数朝上)＝＝．
【解析】
22. [问题背景] “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
[实验操作]
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
[建立模型]
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
[反思优化]
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
[设计刻度]
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：
解　变化量分别为，；；
；；
任务2：
解　设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：
解　（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：
解　时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【解析】

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