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浙教版数学八年级上册期中模拟试卷三(范围:1-3章）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共 30分）
1．（2025八下·余姚期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·柳州模拟）下列图形中具有稳定性的图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·浙江期中）用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．9 B．7 C．2 D．1
4．（2024八下·陆河期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，则斜边上的中线BO长是（　　）
A．2.5 B．4 C．6 D．6.5
5．（2024八上·绍兴期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·吴兴月考）如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（　　）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
7．（2023八上·浦东期中）下列四个命题：①若，则；②同位角相等；③在中，若，则是直角三角形；④如果，那么与是对顶角；⑤两直线平行，内错角相等．其中真命题的是（　　）
A．②③ B．③④ C．②⑤ D．③⑤
8．（2024·济阳模拟）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画孤，分别交BA，BC于点E，F．再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则的大小是（　　）
A．31° B．32° C．33° D．36°
9．（2024七上·宝安期末）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·温州三模）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连结四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．2
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2021八上·鄞州期中）命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
12．（2025八下·龙港期中）在□ABCD中，若∠B+∠D=200°，则∠A=　 　.
13．（2023八下·安源期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝AC；③△ABD≌△CBD；④若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积等于48；其中正确的结论有　 　．(用序号表示)
14．（2024八上·浙江期中）如图，已知△ABC和△ABD，∠ACB=∠ADB=90°，点E是AB的中点，连结CE，DE，CD，设∠DAB=α.则当∠ABC=　 　时，△DCE为等边三角形．（用含α的代数式表示）
15．（2024八上·东莞期末）△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝50°，点D、点E是射线BA上的两个点，且满足AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE的度数为　 　．
16．如图，在钝角 中， AD为BC边上的高，F为BC边的中点，若 则BC的长为　 　.
17．（2024八下·紫金期末）如图，在中，斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为　 　．
18．（2019八上·台州开学考）如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　．
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024八上·南海期中）问题背景：在中，，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
（1）请你将的面积直接填写在横线上 ；
（2）若三边的长分别为，，，请利用右图的正方形网格（每个小正方形的边长为）在第四象限画出相应的；
（3）在图中画出关于轴的对称图形．
20．（2023八上·建始期中）如图，在中，．
（1）用尺规作图：作的角平分线，交于点D，作的垂直平分线，交于点P（保留痕迹，不写作法）；
（2）连接，，试判断，，间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
21．（2024八上·湖北期中）在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：平分．
22． 如图， 已知 是直线 上的一点， 平分 ， 射线 ， ．
（1） 求 的度数．
（2） 若 ， 说明： ．
23．（2024八上·浙江期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．
【理解定理】
（1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____；
【问题解决】
（2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和．
24．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，C符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的稳定性解题即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】 【解答】解：∵一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，
∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
∴这根小木棒的长度范围是2＜第三边＜8；
A、9不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意；
B、7在2＜第三边＜8范围内，此选项符合题意；
C、2不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意；
A、1不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理“两边之差＜三角形的第三边＜两边之和”可得第三边的范围，然后结合各选项即可判断求解．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，
∴
∴斜边上的中线BO＝AC＝6.5．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得AC，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，，最后根据角的关系进行计算即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，即平分，故③正确；
，，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故选：D．
【分析】
① 先由可证，则，又由、可得，再利用对顶角相等可根据证明；
② 由垂直的定义可得，则由四边形的内角和得，再由邻补角的概念可得，等量代换可得；
③ 连接，由得，又由①知，则，又由得，则，则可利用SSS证明，由全等三角形的性质得出；
④ 由知，则当时必然有，则由等底同高知．
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】 ①若，则故错误，是假命题；②同位角相等，错误，是假命题；③在中，若，则是直角三角形，正确，是真命题；④如果，那么与是对顶角，错误，是假命题；⑤两直线平行，内错角相等，正确，是真命题．真命题有③⑤ ，
故答案为：D.
【分析】利用乘方的定义、平行线的性质、对顶角的性质，三角形内角和定理分别判断即可得出结论.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线
∴
∴∠A=∠ABD=∠CBD
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=87°
∴∠A+2∠ABD=180°-∠C，即3∠A=180°-87°=93°
∴∠A=31°
故答案为：A
【分析】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，则 ，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用；角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵B'D平分∠EDC'，
∴∠EDB'=∠C'DB'，
由折叠得∠BDE=∠B'DE，∠CDF=∠C'DF，
∴∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'，
设∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'=x，∠CDF=∠C'DF=y，
则∠EDF=∠B'DE+∠C'DB'+∠C'DF=2x+y=99.5°①，
∠BDE+∠B'DE+∠C'DB'+∠CDF+∠C'DF=3x+2y=180°②，
①×2-②得x=19°，
∴∠EDC'=∠EDB'+∠B'DC'=2x=38°.
故答案为：B.
【分析】由角平分线线定义得∠EDB'=∠C'DB'，由折叠得∠BDE=∠B'DE，∠CDF=∠C'DF，则可得∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'，设∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'=x，∠CDF=∠C'DF=y，根据角的和差可得方程2x+y=99.5°①，3x+2y=180°②，联立两方程求解可得x的值，最后根据∠EDC'=∠EDB'+∠B'DC'可得答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，
标记A、B、C、D如图②所示，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，
设AB=CD=x，
∴
∴S2=4S△ACD=2x2，
∵S1=S2，S1+S2=m2
∴4x2=m2，
∴m=2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2
∴x2+(x+n)2=m2，
∴x2+(x+n)2=4x2，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，如图2，设AB=CD=x，则可以用x表示出S2，又由于S1=S2，S1+S2=m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可.
11．【答案】假
【知识点】有理数的乘法法则；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题是：如果ab>0，则a>0，b>0，
∵当ab>0，也可得出a<0，b<0，
∴是假命题.
故答案为：假.
【分析】先找出原命题的条件和结论，再根据逆命题和原命题关系写出逆命题；根据条件列举一个反例，即可作出判断.
12．【答案】80°
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
又∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠A=180°，
∴∠A=180°-∠D=80°.
故答案为：80°.
【分析】由平行四边形的对角相等，对边平行得∠B=∠D，AB∥CD，结合已知可求出∠B=∠D=100°，进而根据二直线平行，同旁内角互补，可求出∠A的度数.
13．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD和△OCD（SAS），
∴AO＝CO＝AC，∠AOD=∠COD，
∵∠AOD+∠COD=180°，
∴AC⊥BD，故①②正确；
∴，故④错误；
故答案为：①②③
【分析】先根据三角形全等的判定即可判断③，再根据三角形全等性质与判定即可判断①和②，再运用三角形的面积公式即可求解。
14．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∠ACB=∠ADB=90°，点E是AB的中点，
，
，
∠DAB=α ，
，
要使△DCE为等边三角形，则，
，
.
故答案为：.
【分析】利用直角三角形的性质可得，再通过三角形外角的性质求得，要使△DCE为等边三角形，则，进而求得，然后通过三角形外角的性质求得.
15．【答案】25°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：点D、点E是射线BA上的两个点，如图，
∵BE=BC，
∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∵AD=AC，
∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，
∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2
=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2
=∠ACB÷2
=50°÷2
=25°，
故答案为：25°.
【分析】通过外角的性质可知∠DCE=∠BEC-∠ADC，故只需要求出∠BEC和∠ADC，通过等腰三角形的性质和三角形的内角和公式可求出，代入可得答案.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—边角关系；三角形的中线
【解析】【解答】解：是中点
【分析】由于AF是的边BC上的中线，所以BF等于CF，则，再解即可求得BF上的高AD，再利用三角形面积公式可求得BF，进而可得BC的长.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
，
，
又∵
，
故答案为：．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出MC的长，利用线段的长求出AC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
18．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=(x 40)°，
∴∠BAC=∠ACD ∠ABC=2x° (x° 40°) (x° 40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
19．【答案】（1）
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：的面积为．
故答案为：；
【分析】（1）根据割补法求三角形面积即可.
（2）根据题意作图即可.
（3）根据对称性质作图即可.
（1）解：的面积为．
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质求出，，即可得到，
（3）根据三角形内角和定理可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
（2）；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
21．【答案】（1）证明：如图，设交于点G，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：由（1）得，∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
（1）根据证明与全等，得到，进而解答即可；
（2）首先由，得到，，然后利用等边对等角得到，然后利用等量关系转化求解即可．
（1）证明：如图，设交于点G，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
22．【答案】（1）解： ∵，
∴ ∠FCA=∠2=58°，
∵，
∴ ∠ACE=90°- ∠FCA=90°- 58°=32°.
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ∠DCE=∠ACE=32°，
又∵，
∴ ∠1=∠DCE，
∴.
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)先根据两直线平行，同位角相等得到∠FCA，再根据垂直得出即可.
(2)先根据角平分线的定义求出∠DCE，再根据内错角相等，两直线平行证出即可.
23．【答案】（1）1；
（2）证明：过作于，过作于，如图所示：
，，
，
，，
，
，
平分；
（3）连接，过作于，于，
，为的中点，
，平分，，
，，平分，
，
，，，
，
，
和中，
，
，
，
由，可得：，
，即，
，
，
和的面积和
的面积．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：平分，于，于，
，
，
；
故答案为：1；
【分析】（1）利用角平分线的性质定理，即可得证；
（2）过作于，过作于，利用AAS证明△DBQ≌△DCP，可得，再利用角平分线的性质即可得到结论；
（3）连接，过作于，于，进而证明，，可证，得到∶，，利用三角形的面积公式进行求解即可．
24．【答案】（1）①证明，如图：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE；
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE.
②60°.
（2）解：①在题图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE；
∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直载上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
②AE=BE+2CM；理由如下：
∵CD=CE，CM⊥DE于M，
∴DM=ME；
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）②解：∵△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC；
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°；
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
故答案为：60°.
【分析】（1）①根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可得CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=BE.
②根据全等三角形的对应角相等可得∠ADC=∠BEC；根据等边三角形的性质可得∠CDE=∠CED=60°，求得∠ADC=∠BEC=120°；即可求解.
（2）①根据等腰直角三角形的底角所对的边相等可得CA=CB，CD=CE；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应角相等可得AD=BE，∠ADC=∠BEC；结合等腰直角三角形的性质即可推得∠BEC=135°；即可求解.
②根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线重合可得DM=ME；结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=CM，即可求解.
1 / 1浙教版数学八年级上册期中模拟试卷三(范围:1-3章）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共 30分）
1．（2025八下·余姚期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，C符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．（2024·柳州模拟）下列图形中具有稳定性的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的稳定性解题即可.
3．（2024八上·浙江期中）用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．9 B．7 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】 【解答】解：∵一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，
∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
∴这根小木棒的长度范围是2＜第三边＜8；
A、9不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意；
B、7在2＜第三边＜8范围内，此选项符合题意；
C、2不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意；
A、1不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理“两边之差＜三角形的第三边＜两边之和”可得第三边的范围，然后结合各选项即可判断求解．
4．（2024八下·陆河期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，则斜边上的中线BO长是（　　）
A．2.5 B．4 C．6 D．6.5
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，
∴
∴斜边上的中线BO＝AC＝6.5．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得AC，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
5．（2024八上·绍兴期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，，最后根据角的关系进行计算即可.
6．（2024八上·吴兴月考）如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（　　）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，即平分，故③正确；
，，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故选：D．
【分析】
① 先由可证，则，又由、可得，再利用对顶角相等可根据证明；
② 由垂直的定义可得，则由四边形的内角和得，再由邻补角的概念可得，等量代换可得；
③ 连接，由得，又由①知，则，又由得，则，则可利用SSS证明，由全等三角形的性质得出；
④ 由知，则当时必然有，则由等底同高知．
7．（2023八上·浦东期中）下列四个命题：①若，则；②同位角相等；③在中，若，则是直角三角形；④如果，那么与是对顶角；⑤两直线平行，内错角相等．其中真命题的是（　　）
A．②③ B．③④ C．②⑤ D．③⑤
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】 ①若，则故错误，是假命题；②同位角相等，错误，是假命题；③在中，若，则是直角三角形，正确，是真命题；④如果，那么与是对顶角，错误，是假命题；⑤两直线平行，内错角相等，正确，是真命题．真命题有③⑤ ，
故答案为：D.
【分析】利用乘方的定义、平行线的性质、对顶角的性质，三角形内角和定理分别判断即可得出结论.
8．（2024·济阳模拟）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画孤，分别交BA，BC于点E，F．再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则的大小是（　　）
A．31° B．32° C．33° D．36°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线
∴
∴∠A=∠ABD=∠CBD
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=87°
∴∠A+2∠ABD=180°-∠C，即3∠A=180°-87°=93°
∴∠A=31°
故答案为：A
【分析】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，则 ，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．（2024七上·宝安期末）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用；角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵B'D平分∠EDC'，
∴∠EDB'=∠C'DB'，
由折叠得∠BDE=∠B'DE，∠CDF=∠C'DF，
∴∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'，
设∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'=x，∠CDF=∠C'DF=y，
则∠EDF=∠B'DE+∠C'DB'+∠C'DF=2x+y=99.5°①，
∠BDE+∠B'DE+∠C'DB'+∠CDF+∠C'DF=3x+2y=180°②，
①×2-②得x=19°，
∴∠EDC'=∠EDB'+∠B'DC'=2x=38°.
故答案为：B.
【分析】由角平分线线定义得∠EDB'=∠C'DB'，由折叠得∠BDE=∠B'DE，∠CDF=∠C'DF，则可得∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'，设∠BDE=∠B'DE=∠C'DB'=x，∠CDF=∠C'DF=y，根据角的和差可得方程2x+y=99.5°①，3x+2y=180°②，联立两方程求解可得x的值，最后根据∠EDC'=∠EDB'+∠B'DC'可得答案.
10．（2025·温州三模）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连结四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，
标记A、B、C、D如图②所示，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，
设AB=CD=x，
∴
∴S2=4S△ACD=2x2，
∵S1=S2，S1+S2=m2
∴4x2=m2，
∴m=2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2
∴x2+(x+n)2=m2，
∴x2+(x+n)2=4x2，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，如图2，设AB=CD=x，则可以用x表示出S2，又由于S1=S2，S1+S2=m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可.
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2021八上·鄞州期中）命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】有理数的乘法法则；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题是：如果ab>0，则a>0，b>0，
∵当ab>0，也可得出a<0，b<0，
∴是假命题.
故答案为：假.
【分析】先找出原命题的条件和结论，再根据逆命题和原命题关系写出逆命题；根据条件列举一个反例，即可作出判断.
12．（2025八下·龙港期中）在□ABCD中，若∠B+∠D=200°，则∠A=　 　.
【答案】80°
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
又∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠A=180°，
∴∠A=180°-∠D=80°.
故答案为：80°.
【分析】由平行四边形的对角相等，对边平行得∠B=∠D，AB∥CD，结合已知可求出∠B=∠D=100°，进而根据二直线平行，同旁内角互补，可求出∠A的度数.
13．（2023八下·安源期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝AC；③△ABD≌△CBD；④若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积等于48；其中正确的结论有　 　．(用序号表示)
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD和△OCD（SAS），
∴AO＝CO＝AC，∠AOD=∠COD，
∵∠AOD+∠COD=180°，
∴AC⊥BD，故①②正确；
∴，故④错误；
故答案为：①②③
【分析】先根据三角形全等的判定即可判断③，再根据三角形全等性质与判定即可判断①和②，再运用三角形的面积公式即可求解。
14．（2024八上·浙江期中）如图，已知△ABC和△ABD，∠ACB=∠ADB=90°，点E是AB的中点，连结CE，DE，CD，设∠DAB=α.则当∠ABC=　 　时，△DCE为等边三角形．（用含α的代数式表示）
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∠ACB=∠ADB=90°，点E是AB的中点，
，
，
∠DAB=α ，
，
要使△DCE为等边三角形，则，
，
.
故答案为：.
【分析】利用直角三角形的性质可得，再通过三角形外角的性质求得，要使△DCE为等边三角形，则，进而求得，然后通过三角形外角的性质求得.
15．（2024八上·东莞期末）△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝50°，点D、点E是射线BA上的两个点，且满足AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE的度数为　 　．
【答案】25°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：点D、点E是射线BA上的两个点，如图，
∵BE=BC，
∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∵AD=AC，
∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，
∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2
=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2
=∠ACB÷2
=50°÷2
=25°，
故答案为：25°.
【分析】通过外角的性质可知∠DCE=∠BEC-∠ADC，故只需要求出∠BEC和∠ADC，通过等腰三角形的性质和三角形的内角和公式可求出，代入可得答案.
16．如图，在钝角 中， AD为BC边上的高，F为BC边的中点，若 则BC的长为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—边角关系；三角形的中线
【解析】【解答】解：是中点
【分析】由于AF是的边BC上的中线，所以BF等于CF，则，再解即可求得BF上的高AD，再利用三角形面积公式可求得BF，进而可得BC的长.
17．（2024八下·紫金期末）如图，在中，斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
，
，
又∵
，
故答案为：．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出MC的长，利用线段的长求出AC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
18．（2019八上·台州开学考）如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=(x 40)°，
∴∠BAC=∠ACD ∠ABC=2x° (x° 40°) (x° 40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024八上·南海期中）问题背景：在中，，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
（1）请你将的面积直接填写在横线上 ；
（2）若三边的长分别为，，，请利用右图的正方形网格（每个小正方形的边长为）在第四象限画出相应的；
（3）在图中画出关于轴的对称图形．
【答案】（1）
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：的面积为．
故答案为：；
【分析】（1）根据割补法求三角形面积即可.
（2）根据题意作图即可.
（3）根据对称性质作图即可.
（1）解：的面积为．
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
20．（2023八上·建始期中）如图，在中，．
（1）用尺规作图：作的角平分线，交于点D，作的垂直平分线，交于点P（保留痕迹，不写作法）；
（2）连接，，试判断，，间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质求出，，即可得到，
（3）根据三角形内角和定理可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
（2）；
理由：如图，连接，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
21．（2024八上·湖北期中）在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：平分．
【答案】（1）证明：如图，设交于点G，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：由（1）得，∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
（1）根据证明与全等，得到，进而解答即可；
（2）首先由，得到，，然后利用等边对等角得到，然后利用等量关系转化求解即可．
（1）证明：如图，设交于点G，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
22． 如图， 已知 是直线 上的一点， 平分 ， 射线 ， ．
（1） 求 的度数．
（2） 若 ， 说明： ．
【答案】（1）解： ∵，
∴ ∠FCA=∠2=58°，
∵，
∴ ∠ACE=90°- ∠FCA=90°- 58°=32°.
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ∠DCE=∠ACE=32°，
又∵，
∴ ∠1=∠DCE，
∴.
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)先根据两直线平行，同位角相等得到∠FCA，再根据垂直得出即可.
(2)先根据角平分线的定义求出∠DCE，再根据内错角相等，两直线平行证出即可.
23．（2024八上·浙江期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．
【理解定理】
（1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____；
【问题解决】
（2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和．
【答案】（1）1；
（2）证明：过作于，过作于，如图所示：
，，
，
，，
，
，
平分；
（3）连接，过作于，于，
，为的中点，
，平分，，
，，平分，
，
，，，
，
，
和中，
，
，
，
由，可得：，
，即，
，
，
和的面积和
的面积．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：平分，于，于，
，
，
；
故答案为：1；
【分析】（1）利用角平分线的性质定理，即可得证；
（2）过作于，过作于，利用AAS证明△DBQ≌△DCP，可得，再利用角平分线的性质即可得到结论；
（3）连接，过作于，于，进而证明，，可证，得到∶，，利用三角形的面积公式进行求解即可．
24．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）①证明，如图：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE；
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE.
②60°.
（2）解：①在题图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE；
∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直载上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
②AE=BE+2CM；理由如下：
∵CD=CE，CM⊥DE于M，
∴DM=ME；
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）②解：∵△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC；
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°；
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
故答案为：60°.
【分析】（1）①根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可得CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=BE.
②根据全等三角形的对应角相等可得∠ADC=∠BEC；根据等边三角形的性质可得∠CDE=∠CED=60°，求得∠ADC=∠BEC=120°；即可求解.
（2）①根据等腰直角三角形的底角所对的边相等可得CA=CB，CD=CE；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应角相等可得AD=BE，∠ADC=∠BEC；结合等腰直角三角形的性质即可推得∠BEC=135°；即可求解.
②根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线重合可得DM=ME；结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=CM，即可求解.
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