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浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试
一、选择题
1.以下对圆心和△ABC的关系描述正确的是（　　）
A.图①中M是△ABC的外心 B.图②中N是△ABC的外心 C.图③中P是△ABC的内心 D.图④中Q是△ABC的内心
2.已知⊙O的半径为5cm，直线l和点O的距离为dcm，若直线l与⊙O有公共点，则（　　）
A.d＞5 B.d＝5 C.d＜5 D.0≤d≤5
3.如图，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（ 　）
A. B. C.2 D.3
4.下列说法正确的是（　　）
A.三点确定一个圆
B.任何三角形有且只有一个内切圆
C.长度相等的弧是等弧
D.三角形的外心是三条角平分线的交点
5.如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（ 　　）
A.小时 B.10小时 C.5小时 D.20小时
6.如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
7.已知⊙O的周长为12πcm，某直线到圆心O的距离为5cm，则这条直线与⊙O公共点的个数为（　　）
A.2 B.1 C.0 D.不能确定
8.如图，AD是⊙O的切线，A为切点．点C在⊙O上，连接BC并延长交AD于点D，若∠AOC＝70°，则∠ADB＝（　　）
A.35° B.45° C.55° D.65°
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝6，AC＝8，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么的值为（　　）
A.1 B. C. D.
10.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（　　）
A.若DE＝DO，则DE是⊙O的切线
B.若AB＝AC，则DE是⊙O的切线
C.若CD＝DB，则DE是⊙O的切线
D.若DE是⊙O的切线，则AB＝AC
11.在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆O所在圆的直径，AB＝2，点C在半圆上，过点C的直线交AB的延长线于点D．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（　　）
嘉嘉：若给出∠DCB＝∠BAC，则可证明直线CD是半圆O的切线；
淇淇：若给出直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，则可求出△ADC的面积．
A.只有嘉嘉的正确
B.只有淇淇的正确
C.嘉嘉和淇淇的都不正确
D.嘉嘉和淇淇的都正确
12.已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE FB＝AB CF．其中正确的只有（　　）
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①②④
二、填空题
13.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为　 　．
14.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差R﹣r＝　 　．
15.如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线l的位置关系是　 　．
16.如图，已知△ABC，∠B的平分线交边AC于P，∠A的平分线交边BC于Q，如果过点P、Q、C的圆也过△ABC的内心R，且PQ＝1，则PR的长等于　　．
17.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是　　 ．
三、解答题
18.已知M是△ABC内一点，且∠BMC＝90°+∠BAC，又直线经过△BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是△ABC内切圆的圆心．
19.已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
20.如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为点H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8cm．将直线l向下平移多少时，1能与⊙O相切？
21.如图，△ABC的内切圆分别切BC，CA、AB三边于D、E、F，M是EF上一点，且DM⊥EF，求证：DM平分∠BMC．
22.已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.以下对圆心和△ABC的关系描述正确的是（　　）
A.图①中M是△ABC的外心 B.图②中N是△ABC的外心 C.图③中P是△ABC的内心 D.图④中Q是△ABC的内心
【答案】A
【解析】根据三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，逐一进行判断即可．
图①中M是△ABC的外心，A选项正确，符合题意；
图②中N不是△ABC的外心，B选项错误，不符合题意；
图③中P不是△ABC的内心，C选项错误，不符合题意；
图④中Q不是△ABC的内心，D选项错误，不符合题意；
故选：A．
2.已知⊙O的半径为5cm，直线l和点O的距离为dcm，若直线l与⊙O有公共点，则（　　）
A.d＞5 B.d＝5 C.d＜5 D.0≤d≤5
【答案】D
【解析】根据⊙O与直线有公共点，可得直线与圆相切或相交，从而得出点O到直线L的距离小于或等于圆的半径即可得到问题答案．
∵⊙O与直线有公共点，
∴直线L与圆相切或相交，
∴点O到直线L的距离小于或等于圆的半径，
即d≤5，
∵d≥0，
∴0≤d≤5．
故选：D．
3.如图，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（ 　）
A. B. C.2 D.3
【答案】C
【解析】在直角三角形BCM中，根据60°的正切函数以及MB的长度，求出BC的长，然后根据AB为直径且AB与BC垂直，得到BC为圆O的切线，又因为CD也为圆O的切线，根据切线长定理得到切线长CD与BC相等，即可得到CD的长．
在直角△BCM中，
tan60°＝＝，
得到BC＝＝2，
∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC，
∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，
∴CD＝BC＝2．
故选：C．
4.下列说法正确的是（　　）
A.三点确定一个圆
B.任何三角形有且只有一个内切圆
C.长度相等的弧是等弧
D.三角形的外心是三条角平分线的交点
【答案】B
【解析】根据确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，等弧的概念，三角形的外接圆与外心，逐一判断即可．
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；
B．任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；
C．能够重合的弧是等弧，故C不符合题意；
D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D不符合题意；
故选：B．
5.如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（ 　　）
A.小时 B.10小时 C.5小时 D.20小时
【答案】B
【解析】求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．
由题意得出：∠ABF＝30°，AB＝300km，
∴AC＝150km，当AD＝200km，
∴CD＝＝50（km），
∴DE＝2×50＝100（km），
∴100÷10＝10（小时）．
故选：B．
6.如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【答案】B
【解析】由切线的性质得出∠ABO＝90°，由直角三角形的性质得出∠A＝90°﹣∠AOB，即可得出结果．
∵AB和⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；
故选：B．
7.已知⊙O的周长为12πcm，某直线到圆心O的距离为5cm，则这条直线与⊙O公共点的个数为（　　）
A.2 B.1 C.0 D.不能确定
【答案】A
【解析】先求解⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时，先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．
∵⊙O的周长为12πcm，
∴⊙O的半径为：，
∵直线到圆心O的距离为5cm，6cm＞5cm，
∴直线l与⊙O相交，
∴直线l与⊙O有两个交点．
故选：A．
8.如图，AD是⊙O的切线，A为切点．点C在⊙O上，连接BC并延长交AD于点D，若∠AOC＝70°，则∠ADB＝（　　）
A.35° B.45° C.55° D.65°
【答案】C
【解析】先证明△ABD是直角三角形，求出∠B即可解决问题．
∵OB＝OC，∠AOC＝70°，∠AOC＝∠B+∠OCB，
∴∠B＝∠OCB＝35°，
∵AD是⊙O的切线，
∴AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠B＝55°．
故选：C．
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝6，AC＝8，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么的值为（　　）
A.1 B. C. D.
【答案】B
【解析】设△ABD的内切圆为⊙I，⊙A与AB、AD、BD 分别相切于点E、F、G，由∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，求得BC＝10，S△ABC＝24，连接IE、IF、IG、IA、IB、ID，则×6r1+×5r1+×5r1＝S△ABD＝12，求得r1＝；用同样的方法求得r2＝，则＝，于是得到问题的答案．
设△ABD的内切圆为⊙I，⊙A与AB、AD、BD 分别相切于点E、F、G，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，S△ABC＝AB AC＝×6×8＝24，
∵AD为斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD＝BC＝5，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝12，
连接IE、IF、IG、IA、IB、ID，则IE＝IF＝IG＝r1，
∵S△ABI+S△ADI+S△BDI＝S△ABD＝12，且AB⊥IE，AD⊥IF，BD⊥IG，
∴×6r1+×5r1+×5r1＝12，
解得r1＝；
同理×8r2×5r2+×5r2＝12，
解得r2＝，
∴＝＝，
故选：B．
10.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（　　）
A.若DE＝DO，则DE是⊙O的切线
B.若AB＝AC，则DE是⊙O的切线
C.若CD＝DB，则DE是⊙O的切线
D.若DE是⊙O的切线，则AB＝AC
【答案】A
【解析】根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据CD＝BD，AO＝BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．根据切线的性质得出AC∥OD，由等腰三角形的判定与性质得出结论．
当AB＝AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD＝BD时，AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD．
∵DE⊥AC，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠C＝∠OBD，
∴AC＝AB，
所以D正确．
若DE＝DO，不能判断DE是⊙O的切线．
故选：A．
11.在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆O所在圆的直径，AB＝2，点C在半圆上，过点C的直线交AB的延长线于点D．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（　　）
嘉嘉：若给出∠DCB＝∠BAC，则可证明直线CD是半圆O的切线；
淇淇：若给出直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，则可求出△ADC的面积．
A.只有嘉嘉的正确
B.只有淇淇的正确
C.嘉嘉和淇淇的都不正确
D.嘉嘉和淇淇的都正确
【答案】D
【解析】根据切线的求证方法，如图所示（见详解），连接OC，证明OC⊥CD即可求解；根据切线的性质，BC＝BD，可求出等腰三角形，等边三角形，根据含特殊角的直角三角形的直线可求出各边的长度，由此即可求解．
∵AB是半圆O所在圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
如图所示，连接OC，
∵OA，OC是半径，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OAC+∠OCB＝90°，
嘉嘉给出的条件是：∠DCB＝∠BAC，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CD，且点C在圆上，
∴直线CD是半圆O的切线，故嘉嘉给出的条件正确；
淇淇给出的条件：直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，如图所示，
∴OC⊥CD，且△BCD是等腰三角形，
∴∠DCB+∠BCO＝∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵∠COB＝2∠ACO，∠CBO＝2∠DCB，
∴CO＝CB，且CO＝BO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ACB＝∠BCD＝∠D＝30°，
∵AB＝2，
∴OA＝OC＝OB＝BC＝BD＝1，
∴AD＝3，
如图所示，过点C作CE⊥OB于E，
在△OBC是等边三角形，，
∴，故淇淇给出的条件正确，
故选：D．
12.已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE FB＝AB CF．其中正确的只有（　　）
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①②④
【答案】D
【解析】根据切线长定理，证△COB≌△COD，可得∠COB＝∠BOD，根据圆周角定理即可得出∠DAB＝∠COB，由此可证得AD∥OC；
连接DE、BE；上面已证得弧DE＝弧BE，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得DE、BE分别平分∠CDB和∠CBD；根据三角形内心的定义，即可得出结论②正确；
若FE＝FC，则∠OCB＝∠CEF＝∠OEA＝∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA＝∠OCB，即∠DBA＝∠EAB；因此弧BE＝弧AD，而这个条件并不一定成立．故③不正确；
先证明FB＝GB，然后证明△ABG∽△CEF，从而可得出④正确．
连接OD，DE，EB，
CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，
∵OC＝OC
∴Rt△CDO≌Rt△CBO，
∴∠COD＝∠COB，
∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB，
∴AD∥OC，故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE，
∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故②正确；
若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，
∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；
设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，
又∵BE⊥GF，
∴FB＝GB，
由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，
又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，
∴∠BCE＝∠GBA，
而∠CFE＝∠ABF+∠FAB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等），
∴∠AGB＝∠CFE，
∴△ABG∽△CEF，
∴CE GB＝AB CF，
又∵FB＝GB，
∴CE FB＝AB CF
故④正确．
因此正确的结论有：①②④．
故选：D．
二、填空题
13.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为　 　．
【答案】6
【解析】根据切线长定理，可将△PDE的周长转化为两条切线长的和，已知了△PDE的周长，即可求出切线的长．
根据切线长定理得：AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，则△PDE的周长＝2PA＝12，PA＝6．
故答案为：6.
14.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差R﹣r＝　 　．
【答案】1.5
【解析】先利用勾股定理计算出AB，由于R＝AB，r＝，则可计算出R、r的值，从而得到R﹣r的值．
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴R＝AB＝2.5，r＝＝＝1，
∴R﹣r＝2.5﹣1＝1.5．
故答案为：1.5．
15.如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线l的位置关系是　 　．
【答案】相离
【解析】直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离．
根据直线和圆无公共点，则直线和圆相离．
故答案为：相离
16.如图，已知△ABC，∠B的平分线交边AC于P，∠A的平分线交边BC于Q，如果过点P、Q、C的圆也过△ABC的内心R，且PQ＝1，则PR的长等于　　．
【答案】
【解析】连接CR，并延长交AB于T，可求得∠PRQ＝（∠A+∠B）+∠C，由P、Q、C、R四点共圆，得（∠A+∠B）+2∠C＝180°，从而求得PR的值．
连接CR，并延长交AB于T，
则∠PRQ＝∠PRC+∠CRQ＝∠BRT+∠ART＝B+＝（∠A+∠B）+∠C，
∵P、Q、C、R四点共圆，
∴（∠A+∠B）+2∠C＝180°，（∠A+∠B+∠C）+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，从而∠PRQ＝120°，
∵R是内心，∴PR＝QR，∴PR＝．
故答案为．
17.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是　　 ．
【答案】＜AP＜或AP＝
【解析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断；
如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，
设AP＝x，则BP＝5﹣x，PE＝x，
∵⊙P与边BC相切于点E，
∴PE⊥BC，∵AB⊥AC，
∴AC⊥PE，
∴AC∥PF，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，AP＝；
①如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．
S平行四边形ABCD＝2××3×4＝5PE，
PE＝，
观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、B、C三点．，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP＝，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝．
故答案为：＜AP＜或AP＝．
三、解答题
18.已知M是△ABC内一点，且∠BMC＝90°+∠BAC，又直线经过△BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是△ABC内切圆的圆心．
【答案】证明：如图，设∠BAC＝2α，则∠BMC＝90°+α，
∠BOC＝2∠BPC＝2（180°﹣∠BMC）＝2[180°﹣（90°+α）]＝180°﹣2α，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，∴A、B、O、C四点共圆，
于是∠ABC＝∠AOC＝2∠MPC，
∵∠MPC＝∠MBC，∴∠ABC＝2∠MBC，
即∠ABC＝∠MBC，∴BM平分∠ABC．
同理可证CM平分∠ACB，
∴点M是△ABC的内心．
【解析】
19.已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，
∵OA，OB是半径，
∴AF、BP都是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE＝FA，PE＝PB，
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6．
【解析】
20.如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为点H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8cm．将直线l向下平移多少时，1能与⊙O相切？
【答案】解：连接OA，
∵OH⊥AB，AB＝8cm，OC＝5cm，
∴AH＝4cm，OA＝OC＝5cm，
∴OH＝＝＝3（cm），
∵当点H平移到点C时，直线与圆相切，
∴CH＝OC﹣OH＝2cm，
即直线在原有位置向下移动2cm后与圆相切．
【解析】
21.如图，△ABC的内切圆分别切BC，CA、AB三边于D、E、F，M是EF上一点，且DM⊥EF，求证：DM平分∠BMC．
【答案】证明：连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK，OF，OD．则：
∵△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，
∴BF＝BD，CD＝CE，
∴BN⊥DF，CK⊥DE，∠FBN＝∠FBD，
∵∠DOF＝2∠E，∠DOF+∠FBD＝180°，∠MDE+∠E＝90°，
∴∠FBN＝∠EDM，
∵DM⊥EM，
∴∠BNF＝∠DME＝90°，
∴Rt△BFN∽Rt△DEM，
∴＝＝，
同理：Rt△CEK∽Rt△DFM，＝＝，
∴BF ME＝DF DE＝CE FM，
∴＝，而∠BFM＝∠CEM，
∴△BFM∽△CEM，
∴∠BMF＝∠CME．
∵DM⊥EF，∴∠BMD＝∠CMD．
即DM平分∠BMC．
【解析】
22.已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE＝EC，
∴EB＝EC＝ED．（4分）
（2）解：在△DEC中，由于ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°﹣2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，
∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE2＝DF DC．
即（BC）2＝DF DC
∴BC2＝4DF DC．（6分）
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF DC．（7分）
③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点
F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）
【解析】

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